高等数学考研大总结之三函数的连续性_考研高等数学总结

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第三章函数的连续性

一，函数连续性的定义（极限定义）第一定义：设函数fx在某个Ua,内有定义，如果极限limfx

xa存在并且

limfx

xa=fa则称函数fx在a点连续或称a是fx的一个连续点。

解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义)第二定义： 设函数fx在某个Ua,内有定义，如果对于任意的正数>0,存在0,0使得当xUa,时有 fxfa

xa=0时, limy

xa=0。

解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x的改变量(x)非常小时函数fx相应的改变量也非常小,则fx就叫做连续函数。

⑵ 由于x的引入使得在某点连续扩展到区间连续。

⑶ 该定义体现了自变量x所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出.⑷ 表明了可导与连续的关系。

⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数fx在点a处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限limf(x)

xa㈡根据自变量的初值a和终

值ax求出函数的增量yfaxfa③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验limf(x)

xa与fa是否相等㈡求极限limy

x0是否为0。单侧连续（左（右）连续）：设fx在某个a,a（或a,a）上有定义，如果limfx

xa=fa（或limfxxa=fa）则称fx在点x=a右（左）连续。

左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。

解析:类比于单侧极限。

4.一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数总存在着正数使得对于区间I上的任意两点x1,x2当x1x2时就有f(x1)f(x2),那么称函数fx在区间I上是一致连续的.如果函数fx在a,b上第1页

连续那么它在该区间上一致连续。

解析: ⑴与柯西(Cauchy)准则的联系。

⑵如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。二，函数的间断点及其分类:定义:使函数不连续的点x0叫做函数fx的间断点(或不连续点)。

解析: 间断情况的三种情形(函数fx在点x0的某去心邻域内有定义)⑴在x=x0没有定义。⑵虽然在x=x0有定义但limfx

xx0不存在。⑶虽在x=x0有定义且limfxxx0存在但

limfx

xx0≠fx0。间断点的分类(按照函数fx在间断点x0处的左右极限是否存在)⑴第一类间断点:当fx在间断点x0的左右极限都存在时, x0就叫做fx的第一类间断点。(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳跃间断点))即:①第一类可去间断点:函数fx在点x0处无定义,但limfx

xx0存在或函数fx在点x0处

有定义为fx0但limfx

xx0≠fx0(特点:函数在点x0处间断但有极限)②不可去间断点

(或跳跃间断点): 函数fx在点x0处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即limfx

xx

0≠limfxxx

0③第一类间断点定理:设函数fx在开区间I上单调,如果存在间断点的话,则函数fx在开区间I上只有第一类间断点⑵第二类间断点:当函数fx在间断点x0处的左右极限至少有一个不存在时, x0就叫做fx的第二类间断点.(其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:①无穷大间断点:如果在点x0处函数fx的极限为无穷大,则称点x0为第二类无穷大间断点②第二类无穷振荡间断点:如果当xx0时函数fx产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点x0称为函数fx的第二类无穷振荡间断点。

三，连续函数的性质:四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。

第2页复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。连续函数与函数极限的关系:若函数fx为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。局部性质(极限角度)(1).局部保号性:设函数f:IR在点x0I连续且fx0u,fx0u则存在0当xUx0,I时有fxu,fxu⑵局部有界性:设函数f:IR在点x0I连续,则存在0使fx在xUx0,I上有界。如果函数fx在点x0连续则fx在点x0也连续(利用极限定义证明)特别地,若fx及gx都是连续函数则,xmaxfx,gx及xminfx,gx也是连续的即:x1fxgxfxgx,x1fxgxfxgx。22闭区间上连续函数的性质: ⑴最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)

解析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的（定义域的角度）。

⑵介值定理:设函数fx在闭区间a,b上连续且在区间的端点取不同的函数值: fa =A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数c在开区间a,b内至少有一点使得fc(a

解析: ⑴几何意义:连续曲线弧y=fx与水平直线y=c至少有一个交点。

⑵该定理表明:通过闭区间端点值的属性来研究开区间内函数值的性质。

⑶推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。⑶零点定理:设函数fx在闭区间a,b上连续且fa与fb异号(即fafb0)那么在开区间a,b内至少有一点使f0。

解析: ⑴介值定理与零点定理的统一性。

⑵与方程根的分布及近似解有关进而引进了一种求解高次代数方程或其他类型方程近似根的有效方法——二分法。可使其根可达到任意精度。其方法的过程：判断一根在a,b之间，则为加强其精度，则取其中点，再应用零点定理对中点与端点进行符号判断，依次进行下去，进而无限二分，无限应用零点定理直至比较精确为止。其误差小于

⑶应用该定理时需构造函数,其具有试验的意味。

⑷此定理与单调性的结合判断“只有性”问题。

第3页 1ba。2n

四，几类函数的连续性:复合函数的连续性:设函数yfgx是由函数yfu与函数ugx复合而成,Ux0Dfg若函数ugx在xx0连续且gx0u0而函数yfu在uu0连续则复合函数yfgx在xx0也连续。反函数的连续性:如果函数y=fx在区间上严格单调且连续,那么其反函数也在对应的区间上严格单调且连续。

解析:函数是区间上为单值,严格单调的函数。分段函数的连续性的判断:⑴判断各子区间上的连续性⑵判断衔接点处的连续性。4 初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。．．．．

五,函数连续性的证明方法利用定义证明(通法)。利用其性质证明。

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