行测考点(一本通上总结)_行测考点总结
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一．数量关系
1.浓度问题 知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是浓度问题。
浓度问题在公务员考试中主要只有三类，溶质变化、溶剂变化和不同溶液混合，其中不同溶液混合分为规律变化和无规律变化两种形式。只要掌握其解题技巧，这类问题便可轻松搞定浓度问题。
核心点拨
1、题型简介
化学定量分析常涉及溶液的配置和溶液浓度的计算，在实际生活中我们也常遇到溶液配比的问题，由此产生的许多问题归为浓度问题。公务员考试中浓度问题实际是从小学应用题演变而来的，其本质是比例问题。
2、核心知识
一般溶液是指将一种固体或液体溶于另一种液体（一般为水）中，得到的均匀混合物，被溶解的固体或液体为溶质，起溶解作用的液体（一般为水）为溶剂。
浓度问题就是研究溶质、溶剂、溶液和浓度之间关系的问题。它们存在以下 四个基本关系：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 溶质质量=浓度×溶液质量；
； 溶液质量=。
（1）溶剂的变化——蒸发与稀释问题 溶液蒸发 水含量降低 溶质浓度增加；
溶质不变 溶液稀释 溶剂含量增加 溶质浓度降低； 利用相同溶质的不同比例求解溶剂变化的情况。（2）溶质变化——溶质的增减问题
一般而言，直接计算溶质的增减比较复杂，由于溶剂与溶质对立而统一，大部分情况下，溶质变化的浓度问题需要通过计算溶剂的变化来反推浓度。
（3）不同溶液的混合问题 A.浓度呈规律性变化
这类题往往具有多次操作，浓度不断变化且呈一定规律的特征。其关键是抓住浓度变化的统一规律，从而忽略掉每个步骤的分析过程，应用公式法，简化计算。
B．无规律变化
①某一溶液相对于混合后溶液，溶质增加；另一种溶液相对于混合后溶液，溶质减少。由于总溶质不变，因此增加的溶质等于减少的溶质。此类混合问题采用十字交叉法。
②使用混合判定法，从选项入手，根据溶液混合特性，使用带入排除法解题。
3、核心知识使用详解
浓度问题主要有四种解决方法。其中，方程法具有思维过程简单的特点，适用于大部分浓度问题。因此，同学需要优先而扎实地掌握以不变应万变的方程法。
（1）方程法
一般来说，该方法有两个要素，第一是设未知数，要求易于求解；第二是找等量关系列出方程。浓度问题中往往以浓度作为未知数，这样等量关系易于表达，但也伴有浓度数值大多是小数不好计算的弊病，同学可在实际做题中细加体会。
（2）特殊值法
在很多情况下，同学可选取符合一般情况的特殊值求解。（3）十字交叉法
十字交叉法主要用于解决加权平均值问题，在浓度问题中即混合浓度问题。
两部分混合，第一部分的平均值为a，第二部分的平均值为b（这里假设a＞b），混合后的平均值为r，利用十字交叉法有： 平均值 交叉作差 对应量 第一部分 a r-b A 总体平均值 r
第二部分 b a-r B 得到等式：（r-b）÷（a-r）=A÷B。（4）混合特性判定法
同学可从选项入手，根据溶液混合特性直接排除一些选项，通常与代入排除法混合使用。其优点在于可以省去繁琐的计算，但较依赖于命题者对选项的设置。在熟练掌握上述基本方法的前提下，有意识地运用该方法，可提高解题效率。
（5）公式法 多次混合问题公式：
设原有盐水的质量为M，浓度为c0
先倒出M0 克盐水，再倒入M0 克清水，如此重复n次后，溶液浓度cn 为：
先倒入M0 克清水，再倒出M0 克盐水，如此重复n次后，溶液浓度cn 为：
夯实基础
.溶剂变化
例1：
当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少克？ A.45 B.50 C.55 D.60 【答案】
A 【解析】
[题钥]
“当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时”，表明考查的是蒸发问题。在此类问题中，溶质不变。“盐水重量为多少克”，本题要求的是溶液质量。
[解析]
应用方程法：
假设最后盐水质量为x千克； 根据“溶质不变”列方程： 60×30%=x×40%； 计算得x=45千克； 所以，选A。例2：
甲容器中有6%的食盐水300克，乙容器中有10%的食盐水120克。往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样，问倒入多少克水？ A.100 B.120 C.180 D.240 【答案】
D 【解析】 [题钥]
“往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水”，表明考查的是稀释问题。在此类问题中，溶质不变。“使两个容器的食盐水浓度一样”说明溶质之比等于溶液质量之比。
[解析]
两个容器中食盐的含量之比为：(300×6%)：(120×10%)=3：2； 由于最后两个容器的食盐水浓度一样： 故最后两个容器中食盐水的质量之比为3：2； 设倒入x克水：
则有(300+x)：(120+x)=3：2； 解得x=240。
.溶质变化
例3：
一个容器内装有10升酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满，这是容器里的酒精溶度是多少？ A.35% B.37.5% C.40% D.42.5% 【答案】
B 【解析】
[题钥] “一个容器内装有10升酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满”，表明溶质质量变化，步步求解。
[解析]
第一次加水后溶质变化为原来的：；
第二次加水后变为原来的：；
所求溶度为：；
所以，选B。
.不同溶液混合例4：
从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，倒入蒸馏水将瓶加满，这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是： A.22.5% B.24.4% C.25.6% D.27.5% 【答案】
C 【解析】
[题钥] 每次操作后，酒精浓度减小，且其变化呈现出一定的规律。[解析] 根据题意：
每次操作后，酒精浓度变为原来的（1000-200）/1000=0.8； 故反复三次后浓度变为： 50%×0.8×0.8×0.8=25.6%； 所以，选C。例5：
甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲、乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒人乙杯中，把乙杯取出的倒人甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？ A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 【答案】
B 【解析】
[题钥]
“甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克”可以得出这两杯的溶质质量。
“甲、乙两杯溶液的浓度相同”暗含将两杯的溶液混合，溶质和总溶液不变。求出混合后的溶液浓度就是本题的重点。[解析]
解法一： 应用方程法： 假设两杯溶液浓度为x，根据“溶质和总溶液不变”列方程：（400+600）x=400×17%+23%×600； 解得x=20.6%； 所以，选B。解法二： 应用十字交叉法： 设混合后总浓度为x：
浓度 交叉作差
对应量
第一部分（甲）17%
400
总浓度（总体平均值）
600 第二部分（乙）23%
得到等式：
解得
所以，选B。
进阶训练
.溶剂变化
例6： 已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？ A.3% B.2.5% C.2% D.1．8% 【答案】
A 【解析】
[题钥]
“已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%”，可知本题的溶质不变，变的是溶液的质量和浓度。[解析] 设特殊值：
假设第一次加水后盐水的质量为100克 溶质质量（食盐）为：
溶质质量=浓度×溶液质量=100×6%=6克 第二次加水后溶液质量为：
溶液质量=
=6/4%=150克
先后加水的质量为： 150-100=50克
第三次加水后溶液的浓度为
=
=；
所以，选A。
.溶质变化
例7：
有一瓶水，将它倒出1/3，然后倒入同样多的酒精，再将此溶液倒出1/4后又倒进同样多的酒精，第三次倒出此溶液的1/5后又倒进同样多的酒精，问此时的酒精浓度是多少？ A.70% B.65% C.60% D.55% 【答案】
C 【解析】
[题钥]
“有一瓶水，将它倒出1/3，然后倒入同样多的酒精，再将此溶液倒出1/4后又倒进同样多的酒精，第三次倒出此溶液的1/5后又倒进同样多的酒精”，可以找出此题暗含的是混合后溶液质量不变，关键是求溶质质量。
[解析] 设特殊值：
假设这瓶水的总量为60（3、4、5的最小公倍数）第一次倒出的水和倒入的酒精质量一样，为： 60×1/3=20；
第二次倒出水和倒入酒精后，共有酒精为： 20×﹙1-1/4﹚+60×1/4=30；
第三次倒出水和倒入酒精后，共有酒精为： 30×﹙1－1/5﹚+60×1/5=36 故最终溶液浓度为：
=36/60×100%=60% 所以，选C。例8：
已知有A、B、C三种溶液，其浓度分别为40%、36%、35%，将三者混合后得到浓度为38．5%的溶液11升。其中B溶液比C种溶液多3升，那么其中A种溶液多少升？ A.4升 B.5升 C.6升 D.7升 【答案】
D 【解析】
[题钥] “已知有A、B、C三种溶液，其浓度分别为40%、36%、35%，将三者混合后得到浓度为38．5%的溶液11升”，混合前后A、B、C三者的溶质不变
[解析]
设A溶液有x升.B溶液有y升，则C溶液有（y-3）升： 有X+Y+（Y-3）＝11； A溶液的溶质质量为： 溶质质量=浓度×溶液质量=40%x； B溶液的溶质质量为： 溶质质量=浓度×溶液质量=36%y； C溶液的溶质质量为：
溶质质量=浓度×溶液质量=35%(y-3)； 混合后的溶质质量为：
溶质质量=浓度×溶液质量=38.5%×11； 溶解前后的溶质质量不变： 40%x+36%y+35%(y-3)＝38.5%×11消去 y，得x＝7；
所以，选D 2.排列组合问题
知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是常规排列组合问题。常规排列组合问题是排列组合问题中的一种。
排列组合问题根据是否与顺序有关，只有排列和组合两种类型；根据事情的完成步骤，只有分类和分步两种类型；根据解题方法，只有基础公式型、分类讨论型、分步计算型、捆绑插空型、错位排列型、重复剔除型、多人传球型、等价转化型八种类型。无论排列组合的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这几种主要类型和解题方法，就能轻松搞定排列组合问题。
核心点拨
1、题型简介
排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。下面给出了解决排列组合问题的几个核心知识点，从真题来看，基础公式型、分类讨论型、分步计算型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。
2、核心知识（1）基础公式法 加法原理：
一件事情，有n类方法可以完成，并且每类方法又分别存在则完成这件事情共有乘法原理：
种方法。
种不同方法，一件事情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在成这件事情共有排列基础公式：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有
种方法。
种不同方法，则完
种方法。
组合基础公式：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有
(其中m!=1×2×3×…×m)种方法。
（2）分类讨论法
根据题意分成若干类分别计算。（3）分步计算法 根据题意，分步计算。（4）捆绑插空法
相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。（5）错位排列法 错位排列问题：有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算Dn，则D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（请牢牢记住前六个数）。
（6）重复剔除法 A．平均分组问题
将NM个人平均分成N组，总共有
种分配方法。
B．多人排成圈问题
N人排成一圈，有C．物品串成圈问题
种排法。
N个珍珠串成一条项链，有（7）多人传球法
种串法。
M个人传N次球，记X第二接近的整数便是传给自己的方法数。
（8）等量转换法，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与夯实基础
1.基础公式法 例1：
把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？ A.24 B.4 C.12 D.10 【答案】 A 【解析】 [题钥]
“把4个不同的球放入4个不同的盒子中”，与顺序有关，因此属于排列问题。[解析]
根据题意： 确定n：4； 确定m：4； 代入排列基础公式：；
所以，选A。2.分类讨论法 例2：
从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。A.40 B.41 C.44 D.46 【答案】
C 【解析】
[题钥]
“从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数”，与顺序无关，因此属于组合问题。“从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数”，共有两种类别：第一类，三个数都为偶数；第二类，两个奇数和一个偶数。采用加法原理。
[解析] 第一类，三个数都为偶数：
确定m1：；
第二类，两个奇数和一个偶数：
确定m2：
；
代入加法原理公式：
所以，选C。3.分步计算 例3：
林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？()A.4 B.24 C.72 D.144 【答案】
C 【解析】
[题钥]
“若不考虑食物的挑选次序”，与顺序无关，因此属于组合问题。
林辉挑选食物可分三步，第一步从三种肉类中挑一种肉类，第二步从四种蔬菜中挑二种不同蔬菜，第三步从四种点心中挑一种点心，采用乘法原理。
[解析]
三种肉类中挑一种肉类： 确定m1：；
四种蔬菜中挑二种不同蔬菜：
确定m2：；
四种点心中挑一种点心：
确定m3：；
代入乘法原理公式：
所以，选C。4.捆绑插空法 例4：
A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种排法。A.120 B.72 C.48 D.24 【答案】
B 【解析】
[题钥]
“A、B、C、D、E五个人排成一排”，与顺序有关，属于排列问题。“其中A、B两人不站一起”，可采用插空法。分为两步，第一步：把C、D、E排成一排；第二步：将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中。采用乘法原理。
[解析] 第一步：
把C、D、E排成一排； 确定m1：；
第二步：
将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中；
确定m2：；
代入乘法原理公式：
所以，选B。5.错位排列法 例5：
五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？
A.6 B.10 C.12 D.20 【答案】
D 【解析】
[题钥]
“五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个”，与顺序无关，属于组合问题。
“其中恰好贴错了三个”，属于错位排列。分为两步，第一步：从五个瓶子中选出三个；第二步：对选出的三个瓶子进行错位排列。采用乘法原理。
[解析]
第一步：
从五个瓶子中选出三个； 确定m1：。
第二步：
对选出的三个瓶子进行错位排列；
确定m2：D3＝2；
代入乘法原理公式：；
所以，选D。6.重复剔除法 例6：
某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？（）A.720 B.60 C.480 D.120 【答案】
D 【解析】
[题钥]
“六人围成一圈跳集体舞”，与顺序有关，属于排列问题。
然而，如下图所示，以下6种情况虽然对应了上述解法的不同排列过程，但实际上却是相同的方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。属于重复剔除型中的多人排成圈问题。
[解析] 根据题意：
将六人排成一排，共有
种；
确定重复情况： 将6个人排成圈，N＝6； 确定分配方法： 720÷6＝120 所以，选D。7.多人传球法 例7：
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？
A.60种 B.65种 C.70种 D.75种 【答案】
A 【解析】
[题钥] “四人进行篮球传接球练习”，属于多人传球型问题。
[解析]
套用公式法： 确定M：4； 确定N：5； 代入多人传球公式：；
与60.75最接近的整数61为传给“非自己的某人”即非甲的方法数； 与60.75第二接近的整数60便是传给自己即甲的方法数。所以，选A。8.等价转换法 例8：
一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了4个靶子，右边挂了2个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最下面的一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法？（）A.10种 B.12种 C.15种 D.21种 【答案】
C 【解析】
[题钥]
此时可进行等价转化，等价于在第1、2、3、4、5、6次射击中，有4次是往左射击，有2次是往右射击，确定好这6次射击的“左”与“右”之后，具体是打哪个靶就被唯一确定了。
[解析]
此题等价于：
“共有6次射击，其中有4次是往左射击，有2次是往右射击，共有几种射击方法。” 6次射击中寻找2次往右射击的方法：
所以，选C。
进阶训练 1.分类讨论法 例9：
用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，…，54321。其中，第207个数是多少？（）A.313 B.12354 C.325 D.371 【答案】
B 【解析】 [题钥]
“用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数”，与顺序有关，因此属于排列问题。“用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数”，共有五种类别：第一类，组成的自然数为一位数；第二类，组成的自然数为二位数；第三类，组成的自然数为三位数；第四类，组成的自然数为四位数；第五类，组成的自然数为五位数。采用加法原理。
[解析]
组成的自然数为一位数：
确定m1：；
组成的自然数为二位数：
确定m2：；
组成的自然数为三位数：
确定m3：；
组成的自然数为四位数：
确定m4：
； 组成的自然数为五位数：
确定m5：；
由于
m1＋m2＋m3＋m4＝5＋20＋60＋120＝205； m1＋m2＋m3＋m4＋m5＝5＋20＋60＋120＋120＝325。因此，第207个数为五位数的自然数。第205个数为四位数的最后一位，即最大数5432； 第206个数为五位数的第一位，即最小数12345： 则第207个数为五位数的第二位，即第二小的数12354。所以，选B。2.重复剔除法 例10：
将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，请问一共有多少种分配的方法？（）A.4620 B.69300 C.138600 D.277200 【答案】
B 【解析】
[题钥]
“将11个人分成„3、3、2、2、1‟这样的五组”，与顺序无关，属于组合问题。
将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，可分为两步，第一步：从11个人中选出6人，然后平均分成2组；第二步：从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确定。采用乘法原理。
在平均分组的过程中，应剔除重复的情况。属于重复剔除型中的平均分组问题。[解析] 根据题意，第一步，从11个人中选出6人，然后平均分成2组：
确定m1：；
第二步，从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确定：
确定m2：；
代入乘法原理公式：
所以，选B。3.多人传球法 例11：
对右下图正八边形的8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色。请问一共有多少种涂色的方法？（）A.86 B.174 C.216 D.258
【答案】
D 【解析】
[题钥]
“8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色”，我们从区域1开始考虑，区域1一共有3种涂色的方法，先假设区域1被涂了红色，然后进行顺时针依次考虑：区域2选取与区域1不同的颜色；区域3选取与区域2不同的颜色……区域7选取与区域6不同的颜色；最后区域8选取与区域7不同的颜色，并且与区域1也要不同。
这个过程相当于“3个人（红、黄、蓝）传球，从„红‟出发，依次传8次球（1→2→3→4→5→6→7→8→1），最后传回到„红‟的手里”。属于多人传球型问题。
[解析]
根据题意：
假设区域1被涂了红色； 确定M：3； 确定N：8； 代入多人传球公式：
与85.33最接近的整数85为传给“非自己的某人”即非“红”的方法数； 与85.33第二接近的整数86便是传给自己即“红”的方法数。由于区域1可以涂“红、黄、蓝”3种颜色： 因此总情况数应为： 86×3＝258（种）。所以，选D。4.等价转换法 例12：
假设x、y、z是三个非零自然数，且有x+y+z=36，则共有多少组满足条件的解？ A.700 B.665 C.630 D.595 【答案】
D 【解析】
[题钥]
此时可进行等价转化，由于x、y、z是三个非零自然数，因此等价于36个“1”排成一排，内部形成35个空隙，在这35个空隙插入两个相同的物体，有几种插入法。
[解析] 此题等价于：
“36个“1”排成一排，内部形成35个空隙，在这35个空隙插入两个相同的物体，有几种插入法。35个空隙插入两个相同物体的方法：
所以，选D。
3.日期星期问题
知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是特殊情境问题。日期星期问题是特殊情境问题中的一种。
在公务员考试中，日期问题主要考查的题型为根据已知条件求日期或星期。这类题型的解题方法一般只有：分段法、余数法、综合推断法；掌握年份、日期、星期的相关知识，你就可以轻松搞定日期星期问题。
核心点拨
1、题型简介
日期问题主要是根据已知的条件求星期、日期问题。一般情况下，这类型题目主要采用分段法、余数法、综合推断法解题。
2、核心知识（1）平年和闰年
平年2月有28天，全年365天； 闰年2月有29天，全年366天。（2）闰年的判定
四年一闰，百年不闰，四百年再闰，三千二百年再不闰（1）能被4整除但不能被100整除（如2008年是闰年，2009年就不是）
（2）能被400整除而不能被3200整除的是闰年（如1900年是平年，2000年是闰年，3200年是平年）。（3）大月和小月
大月：一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月，每月共31天； 小月：四月、六月、九月、十一月，每月共30天。（4）星期
星期每七天一个循环（例如5日是星期二，那么12日也是星期二）。
日期星期问题本质上就是余数问题，比如星期几就是除7后余几。（如2008年1月1日为星期二，2009年1月1日为星期几？2008年为闰年，有366天，366除以7余2，故2009年1月1日为星期四。）
星期口诀：
平年每年的第一天和最后一天为同一个星期数，闰年每年的最后一天星期数为该年第一天星期数加上1。
夯实基础
1.分段法 例1：
从1999年8月16日到2000年3月8日共有多少天？ A.202 B.205 C.206 D.208 【答案】
C 【解析】
[题钥] 将1999年8月16日到2000年3月8日分为三段计算。[解析]
可以把这些天分段如下： 第一段：
1999年8月16日-31日，共有31-16+1=16天，第二段：
1999年9月-2000年2月，共有30+31+30+31+31+29=182天 第三段：
2000年3月1日-8日，共有8-1+1=8天 所以，一共有： 16+182+8=206天； 所以，选C。2.余数法 例2：
已知2008年的元旦是星期二，问2009年元旦是星期几？ A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 【答案】
C 【解析】
[题钥] 2008年的元旦是星期二，并且2008年是闰年。[解析] 依题意： 2008年是闰年，2008年的元旦至2009年的元旦一共有366天； 计算得： 366†7=52……2；
故往后推两天，2009年元旦是星期四； 所以，选C。3.综合推断法 例3：
某一年中有53个星期二，并且当年的元旦不是星期二，那么下一年的最后一天是： A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 【答案】
C 【解析】
[题钥]
题目中没有说明这一年是平年还是闰年，所以先要考虑这题到底是平年还是闰年，“当年的元旦不是星期二”，即当年的第一天不是星期二。
[解析]
假设当年是平年： “平年每年的第一天和最后一天为同一个星期数”，且“平年是52周余1天”；
该年“有53个星期二”，因此该年的第一天（即元旦）和最后一天应同为星期二，与“当年的元旦不是星期二”不符，故该年一定为闰年。
根据“有53个星期二，并且当年的元旦不是星期二”可推知： 当年元旦是星期一，当年最后一天是星期二。该年为闰年，则下一年为平年：
根据“闰年每年的最后一天星期数为该年第一天星期数加上1”，“当年最后一天是星期二”可推知： 下一年的最后一天是当年最后一天的星期数加1，即星期三。所以，选C。
进阶训练
1.分段法 例4：
有人将1/10表示为10月1日，也有人将1/10表示为1月10日。这样一年中就有不少混淆不清的日期了。当然，8／15只能表示8月15日，那么一年中像这样不会搞错的日期最多有多少天呢？ A.222 B.234 C.216 D.144 【答案】
B 【解析】
[解析] 依题意：
每个月从本月13日到本月最后一天是不会搞错的； 按闰年算：
共有18×12+7-1=222天； 另外：
1/1，2/2，3/3，…，12／12，这12天也不会搞错； 所以不会搞错的日期最多有： 222+12=234天。所以，选B。2．余数法 例 5：
如果前天是星期天，那么213天后是星期几？ A.星期五 B.星期三 C.星期二 D.星期天 【答案】
A 【解析】
[解析]
由题意可知： 今天是星期二； 计算得： 213†7=30……3； 所以213天后为星期五； 所以，选D。3.综合推断法 例5：
用六位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天？ A.12 B.29 C.0 D.1 【答案】
C 【解析】
[题钥]
用六位数字表示“2009年的日期”，即六位数中的前两位为“09”。[解析]
根据题意： 2009年表示为“09”。表示月份时：
1～9月的第一位都为“0”，10月也包含“0”，与年份的数字“09”中的“0”重复；而11月的“11”数字相同，所以月份只能是12月；
因此六位的前面四位为“0912”，最后两位应为3～8： 每月最多只有31天，表示日的两位数字最大只能为31，而3～8所组成的数字最小为34，因此，2009年中六个数字都不同的日期一个也没有。
所以，选C。
4.容斥原理
知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨
1、题型简介
容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识
（1）两个集合容斥关系
（2）三个集合容斥关系 A、标准型公式
B、图示标数型（文氏图法）
画图法核心步骤： 1 画圈图；数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)； ③做计算。C、整体重复型
A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）； W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）； x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）； y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）； z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解
（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础
1.两个集合容斥关系
例1：
小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。A.3道 B.4道 C.5道 D.6道 【答案】
D 【解析】
[题钥]
由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。
“小明答对的题目占题目总数的”，相当于集合A为。
“小强答对了27道题”，相当于集合B为27。
“他们两人都答对的题目占题目总数的”，相当于集合。
“两人都没有答对的题目”，相当于求集合。
[解析] 根据题意，确定元素总量W：；
确定集合A：；
确定集合B：27； 确定集合：；
代入两集合公式：
＝＝
因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：3≤≤6
当W＝12时，＝－16，不合题意；
当W＝24时，＝－5，不合题意；
当W＝36时，＝6，符合题意。
所以，两人都没答对的题目为6道。因此，选B。2.三个集合容斥关系
例2：
某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？()A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】
B 【解析】
[题钥]
“某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。“有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。“36选修乙课程”，相当于集合B为36。“30人选修丙课程”，相当于集合C为30。
“兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合=28。
“兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合=26。
“兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合=24。
“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合=20。
“问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。
[解析] 根据题意，确定元素总量W：50 确定集合A：40 确定集合B：36 确定集合C：30
确定集合：28
确定集合：26
确定集合：24
确定集合：20
代入三集合标准型公式：
＝50-（40+36+30-28-24-26+20）＝2 因此，选B。例3：
某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？()A.120 B.144 C.177 D.192 【答案】
A 【解析】
[题钥] 观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。[解析]
本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。
图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：
63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。因此，选A。例4：
某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？()A.15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】
A 【解析】
[题钥]
“某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。“参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。“参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。“参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。
“如果有5个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量3为5。
“问有多少个学生只参加了一个小组？”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。[解析] 根据题意，设：
参加一个小组的人数为x，即元素数量1为x； 参加两个小姐的人数为y，即元素数量2为y； 确定元素总量W：38 确定集合A：17 确定集合B：30 确定集合C：13 确定元素数量3：5 代入公式，列方程：
因此，选A。
进阶训练
1.两个集合容斥关系 例5：某校学生参加数学竞赛的有120名男生，80名女生，参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?()A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】
A 【解析】
[题钥]
假设260名学生当中有m名男生、n名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。对于男生：
“m名男生”，相当于元素总量
为m。
“参加数学竞赛的有120名男生”，相当于集合为120。
“参加英语竞赛的”，“80名男生”，相当于集合为80。
“其中75名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合为75。
对于女生：
“n名女生”，相当于元素总量
为n。
“参加数学竞赛的”、“80名女生”，相当于集合为80。
“参加英语竞赛的有120名女生”，相当于集合为120。同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合为x。
“已知该校总共有260名学生参加竞赛”，可知260名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。相当于集合、集合为0。
[解析]
根据题意，设：
260名学生当中有m名男生、n名女生； 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。对于男生：
确定元素总量：m
确定集合：120
确定集合：80
确定集合：75
确定集合：0
对于女生：
确定元素总量：n
确定集合：80
确定集合：120 确定集合：x
确定集合：0
男女生总数，即m＋n＝260。
代入两集合公式，列方程：
则有
即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。由于参加数学竞赛的女生有80名，则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数： 80－65＝15名。因此，选A。2.三个集合容斥关系
例6：
如右图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为?()
A.66 B.68 C.70 D.72 【答案】
C 【解析】
[题钥]
“三个圆纸片覆盖的总面积为88”，相当于元素总量W为88，集合为0。
“每个圆纸片的面积都是36”，相当于集合A、集合B、集合C都为36。
“圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9”，相当于集合为6，集合为9。
为7，集合要求“阴影部分的面积”，可先求出集合。
[解析] 根据题意，确定元素总量W：88 确定集合A：36 确定集合B：36 确定集合C：36
确定集合：7
确定集合：6 确定集合：9
确定集合：0
代入公式：
=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）=2
“由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示：
据图可知，阴影部分的面积为：22＋25＋23＝70。因此，选C。例7：
某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是()。A.69 B.65 C.57 D.46 【答案】 D 【解析】
[题钥]
“某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”，相当于元素总量W为125－20＝105。
“有80人看过甲片”，相当于集合A为89。“有47人看过乙片”，相当于集合B为47。“有63人看过丙片”，相当于集合C为63。
“其中有24人三部电影全看过”，相当于元素数量3为24。
求解“只看过其中两部电影的人数”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。[解析] 根据题意，设：
只看过其中一部电影的人数为x，即元素数量1为x； 看过其中两部电影的人数为y，即元素数量2为y； 确定元素总量W：125－20＝105 确定集合A：89
确定集合B：47
确定集合C：63
确定元素数量3：24 代入公式，列方程：
