线面垂直方法的总结_线面垂直方法总结

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线面垂直方法的总结

辽宁省大连市长海县高级中学程聿剑

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(人教大纲A版 高二年级 第29期 第x版 x栏目)

我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常见的线面垂直证明方法.一、应用勾股定理

P同学们知道如果一个三角形的边长满足

a2b2c2，则这个三角形是直角三角形，可以

得到线线垂直的关系.例1：如图1所示，点P是梯形ABCD所在平

面外一点，PD平面ABCD，AB∥CD，已知MC

BD2AD8，AB4.设M是PC上的一

点,求证:BD平面PAD.证明:∵PD平面ABCD,BD平面ABCD

∴BDPD.又∵BD8,AD4,AB45, A图1∴ADBDCD,∴∠ADB90,∴BDAD

又∵PD平面PAD,ADPAD,PDADD.∴BD平面PAD.二、应用等腰(等边)三角形三线合一性质

所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.P例2：如图2所示，已知PA垂直于O所在平面，AB是O的直径，且PAAC，点E是线段PC的C是O的圆周上异于A、B的任意一点，中点.求证：AE平面PBC.证明：∵PAO所在平面，BC是O的弦，∴BCPA.又∵AB是O的直径，ACB是直径所对的圆周角，∴BCAC.∵PAACA,PA平面PAC，AC平面PAC.∴BC平面PAC，AE平面PAC，∴AEBC.∵PAAC，点E是线段PC的中点.∴AEPC.∵PCBCC,PC平面PBC，BC平面PBC.222AO图2B

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∴AE平面PBC.此题利用AE三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,同学们要注意向三角形的三线合一转化.同时应用了圆的直径所对的圆周角是直角这个重要的结论，这点体现了平面几何对于立体几何的重要性.三、应用两条平行线的性质

大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直.在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.例3:如图3所示,P为△ABC所在平面外一点, BC平面PAB,G为PB的中点,M为PC的中点,N在AB上,AN3NB,求证:AB平面MNG.证明:取AB的中点H,连结PH.M ∵G为PB的中点,M为PC的中点,∴GM为△PBC的中位线,∴GM∥BC.G ∵BC平面PAB,AB平面PAB,A ∴BCAB,∴ABGM.H 又∵PAPB,H为线段AB的中点,∴AB⊥PH.N图3 ∵G为PB的中点, N为HB的中点,∴PH∥GN.∴AB⊥GN.∵GMGNG,GM平面MNG,GN平面MNG,∴AB平面MNG.本题GM和GN分别是所在三角形的中位线, 对于证明方法有很大的帮助,同学们在后的解题中要注意根据已知条件找到平行关系是解题的关键.四、应用平面图形的几何性质

我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.P

例4:如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P

是菱形ABCD所在平面外一点，∠BCD60,E是CD的中点,PA平面ABCD,求证:BE⊥平面PAB.证明:∵PA平面ABCD,BE平面ABCD, D

∴BEPA,如图5所示,∵底面ABCD是的菱形,∠BCD60, A∴∠ABD60.C ∵E是CD的中点,∴∠DBE30,∴∠ABEBCDDBE603090, 图4 B ∴BEAB.C

∵PAABA,PA平面PAB,AB平面PAB,∴BE⊥平面PAB.本题菱形ABCD的性质对于解决立体几何的线面垂直有着很重要的作用,类似这样的方法很多,所以同学们要重视平面几何定义、定理、性质的应用.以上解题方法体现了立体几何证明的一个重要的思想方法:

立体几何平面化,即转三维问题为二维,可以合理的解决立体几何问题.E B 

图5

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