面面垂直的判定定理最全面总结_面面垂直的判定定理

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面面垂直的判定及性质定理

知识点1：二面角及其平面角

1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为、的二面角记为 -l- ．

3）二面角的平面角的定义

1定义：在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面  和 内，从点 O 分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则 ∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角.2二面角的大小

二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0°；

② 二面角的两个面合成一个平面：180°；

③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．

二面角的范围：[ 0°, 180°]．

知识点2：两个平面垂直的判定定理

1）两个平面垂直的定义：两个平面互相垂直两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.2）两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.知识点3：二面角的平面角的做法

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知识点4：面面垂直的性质定理

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直，则线面垂直）考点1：面面垂直的判定定理的应用

例1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面

PBC.考点2：求二面角的大小

例2.在正方体ABCDA1BCD中，找出下列二面角的平面角： 11

1（1）二面角D1ABD和A1ABD；

（2）二面角C1BDC和C1BDA.考点3：线线、线面、面面垂直的相互转化

例3.在正方体ABCDA1BCD中，已知P,Q,R,S分别为棱AD,AB,AB,BB1的中点，求证平面PQS⊥平111111

1面B1RC

.3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB 第2页

于点F，求证：

（1）AE⊥平面PBC；（2）平面PAC⊥平面PBC；（3）PB⊥EF

B

C

同步练习：

1.如图，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AESB，AGSD．

2.如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EF//

CD，AMEF． 求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线．

3.如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD平面ABC；

(2)若ABBC，求证：BD面SAC．

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A

4.如图所示，平面平面，l，在l上取线段AB4，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC3，BD12，求CD长．

5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面

EFD.16.（2012全国）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱AA1的中点

2（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（3）求二面角A1BDC1的大小。

C1

A11

B

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7.（2009全国）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1

（1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

8.（2010全国）如图,四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，DA E

BA1 C1 AB=BC=2，CD=SD=1

（1）证明：SD平面SAB

（2）求AB与平面SBC所成角的大小．

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