高数可分离变量的微分方程教案_高等数学微分方程教案

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§7 2 可分离变量的微分方程

观察与分析

1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C

一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

2 求微分方程y2xy2 的通解

因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直

接积分不能求出通解

1dy2xdx 两边积分 得

y211

x2C 或y2yxC1是原方程的通解 可以验证函数y2xC

为求通解可将方程变为

一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成g(y)dyf(x)dx

形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G(y)F(x)C

由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程

一阶微分方程有时也写成如下对称形式

P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

dyP(x,y)

dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

dxQ(x,y)

dyP(x,y)

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

是 10ydy10xdx(6)yxy

不是 yx

可分离变量的微分方程的解法

第一步

分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步

两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步

求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1dy2xdx

y两边积分得

ydy2xdx

21即

ln|y|x2C1

从而

yexC1eC1ex

2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律 2

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数

dM

dtdMM

dtdM0 其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即

dt

由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程由题意 初始条件为 M|t0M0

将方程分离变量得

两边积分 得dMdt

MdM()dt

M即

lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解

设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

mdvmgkv

dt初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

dvdt

mgkvmdvdt两边积分 得 mgkvm

ln(mgkv)1ktC

m1kC1ktmgemCe即

v(C)

kk将初始条件v|t00代入通解得Cmg

kktmg(1em)

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vk

例4 求微分方程

解 方程可化为 dy1xy2xy2的通解

dx

dy(1x)(1y2)

dx分离变量得

1dy(1x)dx

1y2两边积分得

1y2dy(1x)dx 即arctany2x2xC

1211于是原方程的通解为ytan(x2xC)

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P304：1（1）（2）（3）（5），2（3）作业：P304：1（4）（7）（8）（10），2（2），6