苏教版必修5 11.1.2正弦定理 教案_必修五数学正弦定理

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.11．1正弦定理（2）

一、课题：正弦定理（2）

二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形，解决实际问题；

2．熟记正弦定理abc2R（R为ABC的外接圆的半 sinAsinBsinC

径）及其变形形式。

三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。

四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。

五、教学过程：

（一）复习：

1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，abc2R（R为ABC的外接圆的半径）； sinAsinBsinC

1112．三角形面积公式：SABCbcsinAacsinBabsinC． 222 即：

（二）新课讲解：

1．正弦定理的变形形式：

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。C aaB1 B 2abc,sinB,sinC； 2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c． ②sinABabsinAbsinAababab一解两解一解一解

3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC来替代。

4．例题分析：

例1在ABC中，1 AB2 sinAsinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在ABC中，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB，因此，选C．

说明：正弦定理可以用于解决ABC中，角与边的相互转化问题。

例2在ABC中，若lgalgclgsinB，且B为锐角，试判断此三角形的形状。解

：由lgalgclgsinB，得：sinB

B450B90，2asinA① 

c2sinC2

将A135CC2sin(135C)。



∴sinCsinCcosC，∴cosC0，故C90，

A45，∴ABC是等腰直角三角形。

说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断。



例3某人在塔的正东方沿南60西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得



塔的最大仰角为30，求塔高。

D解：如图，由题设条件知：CAB1906030，ABC451453015，

















北 C

∴ACB180BACABC1803015135，又∵AB40米，在ABC中，B



AC40

，sin15sin135

40sin15

30)1)，∴AC

sin13

5在图中，过C作AB的垂线，设垂足E，则沿AB测得塔的最大仰角是CED，∴CED30，在RtABC中，ECACsinBACACsin301)，

在RtDCE中，塔高CDCEtanCED1)tan30



10(3（米）．

3例4如图所示，在等边三角形中，ABa,O为中心，过O的直线交AB于M，交AC

于N，求

1的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O为正三角形ABC的中心，∴AO

设MOA，则

，MAONAO，6A





2，在AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM，

sinMAOsin[()]sin()

M

N

B

在

AOM中，由正弦定理得：ON

sin()

6，1112121222

[sin()sin()](sin)，2222

OMONa66a223∵，∴sin1，33

41118

故当时取得最大值，2OM2ON2a2

2311152

所以，当,or时sin，此时取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、课练：《

七、课堂小结：1．正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？

2．由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外

接圆直径联系在一起。

八、作业：

1．在ABC中，已知atanBbtanA，试判断这个三角形的形状；

222

2．在ABC中，若sinA2sinBcosC，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状。