教案 导数的应极值(典型例题含答案)_导数与极值典型例题

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教案4：导数的应用（2）--极值

一、课前检测

1.函数f(x)x3ax23x9, 已知f(x)在x3时取得极值, 则a的取值是()A.2 答案：D

2.函数y=x-sinx,x B.3

C.4

D.5 ,的最大值是（）2A.-1

B.答案：C 3.已知f(x)=答案：m-1

C.

D.+1 21312xx6x，当x[－1，2]时，f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是______.3231 6

二、知识梳理

可导函数的极值⑴ 极值的概念

设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有（或），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值．称x0为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数f(x)；

② 求方程f(x)＝0的 ；

③ 检验f(x)在方程f(x)＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y＝f(x)是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝f(x)在(a ,b)内有导数，则函数y＝f(x)在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：

① 求y＝f(x)在(a ,b)内的 值；

② 将y＝f(x)的各 值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递增，则f(a)为函数的，f(b)为函数的 ；若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递减，则f(a)为函数的，f(b)为函数的.三、典型例题分析

例1．函数y=1+3x－x3有（）

A.极小值－2,极大值2

B.极小值－2,极大值3

C.极小值－1,极大值1

D.极小值－1,极大值3 解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时, y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3.答案：D 变式训练1：已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.322解（1）由f(x)=x+ax+bx+c,得f(x)=3x+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①

22当x=时，y=f(x)有极值，则f=0,可得4a+3b+4=0 ②

32233由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.322（2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5,∴f(x)=3x+4x-4, 令f(x)=0,得x=-2,x=.23

当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x-3(-3,-2)+-2 0

22,

32 32,1 31 y′

y 8

-0 + 单调递增 单调递减↗ ↘ 单调递增 95 4 27↗

95.27 ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

例2．（2006.北京）已知函数fxax3bx2cx在点x0处取得 极大值5,其导数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2,0)（如图所示）。

求:(1)x0的值;(2)a,b,c的值.评析与简答: 本题凸显了对同学们读图、识图以及捕捉图形信息能力的考查。（1）由'f'x3ax22bxc的图像与x轴的交点为1,0,2,0,立判在x=1的两侧导数值“左正右负”且（2）导函数图像还可得f'(2)0②，再加f(1）=5③，解①②③联立的方程组，f'(1)0①，所以x01；得a

2、b=－

9、c=12（利用根系关系亦可）。

变式训练：（2008福建）设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（）y

O 1 2 x y y y y

O 1 2 x O 1 2 x 1 2 x O 1 2 x

A

B

C

D 答案：C

例3．已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的图像如图所示。(1)求c,d的值；

(2)若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；（3）若x0=5，方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。答案：（1）c0,d3；（2）fxx36x29x3（3）

3o1x0xy1a3 11变式训练：已知x∈R,求证：ex≥x+1.证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1.∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0.当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.∴f（x）＞f（0）=0.当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0.∴对x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法： 3.易错点：

4.教学反思（不足并查漏）：