4、2、3直线与圆的方程的应用教案_直线和圆的方程教案

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教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”

heda2007@163.com4、2、3直线与圆的方程的应用

学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲

一、【学习目标】

1、坐标法求直线和圆的应用性问题；

2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学效果】：教学目标的给出，有利于学生整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】

直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.1、自学例

4、例5，体会其中的解题方法和技巧（坐标法解题）教材上例

4、例5都是用坐标法解决几何问题的，你能否总结 一下坐标法（代数法）解决几何问题的步骤吗？

解决直线与圆的问题时，一般采用坐标法（代数法）、几何法来解决问题，多数是采用圆心到直线的距离与半径的关系来解 决，我们教材上例

4、例5采用了代数法，你能用几何法来完 成例4吗？试着作一下！比较几何法和坐标法，你认为那种方法比较简便实用？

结论：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论；过点P2作P2HOP.由已知，|OP|4,|OA|10.，在RTAOC中，有|CA||CO||OA|,设拱圆所在的半径为r，则有r222222222(r4)10.2222解得r14.5.RTCP2H中，有|CP2||CH||P2H|.根据图形我们可以知道|P2H||OA2|=2，|CH|r|OA2|14.54206.25又|OC|14.5410.5|OH||CH||CO|，于是有我们可以很容易得到下列结论，结论如下：

206.2510.514.3610.53.86，所以支柱A2P2的长度约为3.86cm.我们把两种方法比较，会发现坐标法同通俗易懂，而几何法比较难想，繁琐，因此解题时要有所选择.练习：完成教材练习1、2、3、4题.2、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题

例

1、求通过直线2xy30与圆xy2x4y10的交点，且面积最小的圆的方程.结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为

xy2x4y1(2xy3)0.配方得到标准式方程如下所示(x1)(y2/2)(1)(2/2)31，可以得到黄冈实验学校高一数学讲义

编写者：孟凡洲 QQ：***22教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”

heda2007@163.com r2(5/4)45/4(2/5)19/5，当2/5时，此时半19/5，所求圆的方程为(x3/5)(y9/5)19/5.解法二：

222径r22利用平面几何知识.以直线与圆的交点A（x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去y，得5x6x20.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段AB的中点的横坐标为x0(x1x2)/23/5，y02x039/5，又半径r0.5|x1x2|.1222219/5（弦长公式），所以所求的圆的方程是:(x3/5)(y9/5)19/5.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.例

2、已知圆O的方程为xy9，求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.结论：解法一：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则xy9,ykx(2k)，消去（1k)x2k(2k)xk4k50.所以我们可以y，得到如下方程2222222得到下面结果x1x22k(k2)/(k1)，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：xk(k2)/(k1),y(k2)/(k1)(k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为xyx2y0，当k不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，5/2为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2).因为M、N都在圆上，所以我们可以得到x1y19,x2y29，然后我们把两式向减可以得到：(x1x2)[(y1y2)/(x1x2)].(y1y2)0(x1x2).设P（x,y)则x(x1x2)/2,y(y1y2)/2.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到(y1y2)/(x1x2)(y2)/(x1)(x1).所以2x+[(y-2)/(x-1)]2y=0，所以P点的轨迹方程为xyx2y0（x=1时也成立），所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，5/2为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知OPPA,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.【教学效果】：这一部分知识内容比较艰涩，但是是高考的考点，要求基础好的同学能完全彻底理解.三、【作业】

1、必做题：习题4.2B组的2、3、4题；

2、选做题：习题4.2B组第5题.黄冈实验学校高一数学讲义

编写者：孟凡洲 QQ：191745313

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四、【小结】

本节课主要学习了坐标法解决圆和直线的应用性问题、中点弦问题、面积最小圆问题.这节课的重点是中点弦问题，中点弦问题时高考的一个考点，也为我们以后学习双曲线、抛物线、椭圆做一个预演.这节课学习完以后要求学生能达到熟练的解决中点弦问题以及有一定的解决综合性问题的能力.五、【教学反思】

作为高一的学生，这部分知识比较艰涩，所以允许部分学生听不懂，但是要求每一个学生都要知道，这部分内容是高考的考点.黄冈实验学校高一数学讲义

编写者：孟凡洲 QQ：191745313

直线与圆的方程的综合应用教案参考

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