等比数列的性质及应用教案_等比数列的性质教案
等比数列的性质及应用教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等比数列的性质教案”。
一、教学目标:
1.知识与技能:理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法:通过观察、类比、猜测等推理方法,提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观:体会类比在研究新事物中的作用,了解知识间存在的共同规律。
二、重点:等比数列的性质及其应用。
难点:等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们,我们已经学习了等差数列,又学习了等比数列的基础知识,今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿,让大家做了预习,现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称 等差数列 等比数列
定义 一个数列,若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数,则这个数列是等差数列。一个数列,若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数,则这个数列是等比数列。
定义表达式 an-an-1=d(n≥2)
(q≠0)
通项公式证明过程及方法
an-an-1=d;an-1-an-2=d，„a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+„+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法;„„.an=a1q n-1 累乘法
通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒体投影(总结规律)
数列名称 等差数列 等比数列
定 义 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定 义
表
达 式 an-an-1=d(n≥2)
通项公式证明
迭加法 迭乘法
通 项 公 式
加-乘
乘—乘方
通过观察,同学们发现:
? 等差数列中的 减法、加法、乘法，等比数列中升级为 除法、乘法、乘方.四、探究活动。
探究活动1:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。
练习1 在等差数列{an}中,a2=-2,d=2,求a4=_____..(用一个公式计算)解:a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2
等差数列的性质1: 在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m 性质证明 右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边
应用 在等比数列{an}中,a2=-2 ,q=2,求a4=_____.解:a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活动2:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。
练习2 在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为.解:a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差数列的性质2: 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的,当m=n时,2 an=ap+aq
猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中,若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的,当m=n时,an2=ap*aq
性质证明 右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边 证明的方向:一般来说,由繁到简
应用 在等比数列{an}若an&0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____.解:a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于an&0,a3+a5&0,a3+a5=6
探究活动3:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。
练习3 在等差数列{an}中,a30=10,a45=90,a60=_____.解:a60=2* a45-a30=2×90-10=170
等差数列的性质3: 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项, 则这些项构成新的等差数列,且2an=an-k+an+k
an即时an-k,an,an+k的等差中项
猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项,则这些项构成新的等比数列,且an2=an-k*an+k> an即时an-k,an,an+k的等比中项
性质证明 右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1)2t=an2左边 证明的方向:由繁到简
应用 在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.解:a60= = =810
应用 等比数列{an}中,a15=10, a45=90,a60=________.解:
a30= = = 30
a60=
探究活动4:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。
练习4 设数列{an}、{ bn} 都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____.解:a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差数列的性质4: 设数列{an}、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列 两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列
猜想等比数列的性质4 设数列{an}、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列 两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列,两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。
性质证明 证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1;{bn}的首项为b1,公比为q2,设cn=an?bn那么数列{an?bn} 的第n项与第n+1项分别为:
应用 设数列{an}、{ bn} 都是等比数列,若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____.解:由题意可知{an?bn}是等比数列,a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。
由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位,以学生的自主学习,自主探究为主题,以教师的指导为辅,开展教学活动)
五、等比数列具有的单调性
(1)q
(2)q&0(举例探讨并填表)
a1 a1&0 a1
q的范围 0 q=1 q&1 0 q=1 q&1
{an}的单调性 单调递减 不具有单调性 单调递增 单调递增 不具有单调性 单调递减
让学生举例说明,并查验有多少学生填对。(真确评价)
六、课堂练习:
1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于().a.b.?7 c.?6 d.?
解析:由已知得a32?=5,? a82=10，∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.答案:4
3、+1与-1两数的等比中项是().a.1 b.?-1 c.? d.±1?
解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选d
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于().a.2 b.? c.? d.?
解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c
5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14，它们的积等于64,求这三个数。
分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数
为: 根据题意
再由方程组可得:q=2 或
既这三个数为2,4,8或8,4,2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。
八、§3.1.2等比数列的性质及应用
性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m
性质二:在等比数列{sp;c.?6 d.?
解析:由已知得a32?=5,? a82=10，∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.答案:4
3、+1与-1两数的等比中项是().a.1 b.?-1 c.? d.±1?
解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选d
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于().a.2 b.? c.? d.?
解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c
5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14，它们的积等于64,求这三个数。
分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数
为: 根据题意
再由方程组可得:q=2 或
既这三个数为2,4,8或8,4,2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。
八、§3.1.2等比数列的性质及应用
性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m
性质二:在等比数列{
