等比数列教案_等比数列教案人教版

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2.4 等比数列

（一）（一）教学目标

1．知识与技能：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,理解这种数列的模型应用。

２.过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式。

３.情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

（二）教学重、难点

重点：等比数列的定义和通项公式

难点：等比数列与指数函数的关系

（三）学法与教学用具

学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。

教学用具：投影仪

教学过程： [温故知新] 我们已经学习过一种特殊的数列——等差数列，具备怎样特征的数列才是等差数列呢？（学生齐答）

[情景设置] 实例

1、有三种投资方案可供选择，它们的回报情况如下： 方案1:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元； 方案2:每天回报100元；

方案3:第一天回报0.1元,以后每天的回报金额比前一天翻一番。提问：应该选择哪种方案，才能使收益最大化？

☆处理：设置情景，让学生积极参与其中。通过罗列3种方案回报金额构成的数列，既复习了等差数列，又自然地引入了等比数列。

方案1：10 20 30 40 50 60 „ 方案2：100 100 100 100 100 100 „ 方案3：0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 „

实例

2、观察细胞分裂的过程：

构成数列：1，2，4，8„

实例3《庄子》中有这样的论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

1111，，… 构成数列：1，24816实例

4、计算机病毒传播问题：

构成数列：1，20，202，203，204，„

实例

5、按银行支付利息的复利方式计算本利和，若存入银行1万元钱,年利率是1.98%，每年本利和构成数列：

10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198„

34提问：上述5组数列有什么共同的特点？ 答：从第2项起,上述5组数列中每一项与前一项的比分别都等于常数2，2，1/2，20,1.0198。共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。☆处理：由学生自己观察发现每个实例中隐藏的数列及其特征，并归纳总结出5组数列的共同特征，从而引出等比数列定义。

[探究新知]

一、等比数列定义:若一个数列从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数,则这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,常用字母q表示。

anq(n2)an1☆处理：类比等差数列定义，由学生自己总结等比数列定义，并将定义的文字语言转换为数学符号语言。

例、判断下列几组数列是否为等比数列,若是, 求其公比。

，…（1）1,1，248111（2）-1，-2，-4，-8，„

（3）-1，2，-4，8，„（4）1，x，x，x„

（5）a, a, a, a „

设计思路：趁热打铁，巩固等比数列概念。学生可能认为数列(4)(5)也一定是等比数列，在纠错的同时，自然地引出两个注意事项。(2)(3)中的数列让学生直观地体会公比的正负对等比数列各项符号的影响。注意：

(1)q≠0, an ≠0(n ≥1)，q>0时各项同号,q

(2)各项不为0的常数列既是等差又是等比数列。

二、等比数列通项公式: 设计思路：先复习等差数列通项公式的各种推导方法，让学生围绕定义，仿照等差数列推导等比数列的通项公式。（学生分小组讨论，根据各组讨论情况，选三位同学演板并讲解自己的推导思路。）

方法

一、归纳法 方法

二、累积法 方法

三、迭代法 23a2a1qa3a2qa1q2aa2q,3qa1a2anan1q(an2q)qan2q2(an3q)q2an3q3ana4q,q3aa a4a3qa1q

3n1ana2a3a4qn1a1a2a3an1aaqn1n1ana1qn1a1qn12

通项公式：若等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1 设计思路：（1）回顾实例1中的三个数列，求出其通项公式。

（2）复习等差数列与一次函数的关系，通过计算机模拟演示，展示等比数列图像，引导学生分析等比数列图像与指数函数图像的关系。（3）通过图像和具体数据的计算让学生体会指数爆炸现象。关于通项公式的两点注意：

(1)函数思想：等比数列{an}的图像是其对应的指数型函数y上的一些孤立的点。

(2)方程思想：an,a1,q,n这四个量会知三求一。

[典例分析] 例

1、由右边框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列递推公式。此数列是等比数列吗? 若是,求其通项公式。分析:本题将算法知识介于其中，既体现了知识间的联系性，又巧妙地引出了一个等比数列，而递推关系也包含在程序框图中。引导学生通过类比等差，体会要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,a1xq qan1是an一个常数即可。

例

2、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%,这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？

分析: 要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出其数学模型。通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1，对于通项公式中的四个量要求会知三求一。

例

3、一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18,求它的第１项和第２项。分析:由等比数列的通项公式列出方程组，求出通项公式，再由通项公式求得数列的任一项，这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系。

[演练天地]

1、求出引例2—5中等比数列的通项公式。

2、等比数列{an}中,(1)若a1=2,q=-3,求a8与an(2)若a1=2, a9=32,求q(3)若a1=8 ,an=3 ,q=3 ,求项数n 912

[课堂小结]

1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：

anq(n2)an

12、会推导等比数列的通项公式并掌握其基本应用ana1qn13、函数思想:等比数列与指数函数的联系

[课后巩固] 54页 A组 7,8

[新课预知] 类比等差数列推导等比数列的相关性质

[课后反思] 从全面提高学生的素质考虑，本节课把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露、知识形成过程的揭示作为教学重点；将类比、从特殊到一般的归纳等数学思想始终贯穿其中。这样的设计不像将知识和盘托出那么容易，而是要求教师精心设计问题层次，由浅入深，循序渐进，不断地激发学生思维的积极性和创造性，使学生自行发现知识、“创造”知识。这是不仅是对教师，也是对学生更高层次的要求。