【鼎尖教案】人教版高中数学选修系列：4.1复数的概念(第一课时)_人教高中数学选修教案

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第四章 数系的扩充－复数

课时安排 1课时 从容说课

本节一开始就简明地介绍了数的概念的发展过程，对已经学过的数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括；然后说明数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解.复数，最初还是由于解方程的需要而产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展.将已经学过的数集进行概括并用表列出.

复数的概念是在引入虚数单位i，并同时规定了它的两条性质之后自然地得出的.扩充到复数集后，方程x2=-1,x2-x+1=0等才有解.

在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立，可以引导学生讨论为什么不规定除法、减法呢？由学生自己探索讨论.

把a+bi(a、b∈R)叫做复数,这是复数的代数形式，既与以后的几何表示、向量表示相对应,也说明任何一个复数均可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定，是复数能由复平面内的点来表示的理论基础.

虚数、纯虚数、实部与虚部等概念是复数的最基本的概念.除了教科书中的一些实例外，教学中还要多举一些例子让学生判别，以加深学生理解.这里主要是分类，让学生总结实数集、虚数集、纯虚数集都是复数的真子集.让学生讨论下列两个问题：①复数相等的充要条件是什么？②两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小的原因是什么？培养学生的探索精神.第一课时

课题

§4.1 复数的概念

教学目标

一、教学知识点

1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位i. 2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律.

3.理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）. 4.理解并掌握复数相等的有关概念.

二、能力训练要求

1.能利用复数的有关概念对复数进行分类（实数、纯虚数、虚数），并求出有关参数的取值范围.

2.会用复数相等的定义求有关参数（未知数）的值. 3.使学生学会用定义和有关数学思想解题.

三、德育渗透目标

1.培养学生分类讨论思想、等价转化思想等数学思想和方法.

2.培养学生的矛盾转化、分与合、实与虚等唯物辩证观点，让学生学会对事物归纳与认识，深刻认识事物的两个方面的重要性.

3.培养学生正确的人生观、价值观，使之深刻认识到人在事物发展变化中所应体现的价值和作用.加强学生的爱国主义教育，使他们领悟、掌握科学文化知识，为国富民强而奋.

教学重点

复数的概念、虚数单位i、复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.

教学难点

虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中应用的实践的教学方法.复数的概念如果单纯地讲解或介绍定显得较为枯燥无味，学生不易接受.教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律、各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识,从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类.教具准备

实物投影仪或多媒体课件（含幻灯片、幻灯机）.幻灯片两张. 幻灯片：(记作§4.１Ａ)对已经学过的数集进行概括时，要注意以下几点：（1）有理数就是一切形如

m的数，其中m∈Z,n∈N*,所以有理数集实际上就是分数集. n(2)｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝｛小数｝=R.

(3)自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R之间有如下的关系：NZQR. 幻灯片：(记作§4.１Ｂ)

两个不全为实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小.

(1)根据两个复数相等的定义知，在a=c,b=d两式中，只要有一个不成立，那么a+bi≠c+di.(2)如果两个复数都是实数，则可以比较大小,否则，不能比较大小.(3)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数

集中大小关系的四条性质：

①对于任意实数a、b来说，a＜b,a=b,b＜a这三种情况有且只有一种成立； ②如果a＜b,b＜c,那么a＜c; ③如果a＜b,那么a+c＜b+c; ④如果a＜b,c＞0,那么ac＜bc.教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］从小学开始，我们就天天与各种数打交道，因而对数的概念和运算并不陌生，现在我们来回顾学过了哪些数集呢？

正整数自然数整数零有理数［生］实数 负整数分数无理数［师］由自然数经过若干年的发展，最后扩充到实数，那么还能继续扩充吗？今天我们就来学习新的数即复数（板书课题）. Ⅱ.讲授新课

(一)概念形成［放投影或多媒体］（由学生阅读）

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.

随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展.

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数，这样就把数集扩充到了有理数集Q，显然NQ.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集. 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有限小数），无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集.(学生阅读完毕，教师放出幻灯片§4.１Ａ) ［师］数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩充到实数集R以后，像x2=-1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并规定：（板书及以下两条）

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. ［师］有哪些运算律呢？

［生］乘法交换律和加法交换律.

［师］在这种规定下，i可以与实数b相乘，结果是什么？ ［生］i·b=b·i，满足交换律.

［师］在这种规定下，i可以与实数a相加，结果是什么？ ［生］i+a=a+i，满足交换律.

［师］如果i与实数b相乘，再与实数a相加，结果是什么呢？ ［生］i·b+a=a+bi.

［师］引进了新的虚数单位i后，数的范围又扩充了，出现了形如a+bi(a、b∈R)的数，它在前面所学的数集中没有，这样人们把它们叫做复数.全体复数所成的集合叫做什么？ ［生］全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.(板书) ［师］在这种规定下，i与-1的关系如何呢？

［生］i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根. ［师］方程x2=-1的另一个根呢？ ［生］-i.

［师］复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式.(板书)

对于复数a+bi(a、b∈R),满足什么条件时，它是实数？ ［生］当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)它是实数a. ［师］如果b≠0时，这样复数是什么样的数呢？ ［生］当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数.

［师］在虚数的情况下，如果a=0时，它又是什么数呢？ ［生］当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数.

［师］a、b满足什么条件时，z=a+bi(a、b∈R)是0？ ［生］当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

［师］这样复数z=a+bi(a、b∈R)就可以分成哪几种情况呢？

a＞0正实数b0z是实数aa0实数0a＜0负实数［生］复数zabi(a、bR)

a0纯虚数biboz是虚数(b0,bR)a0非纯虚数的虚数［师］这里的实数a、b分别叫做复数z=a+bi(a、b∈R)的实部与虚部（板书）.

11i ,i,35i的实部和虚部，有没有纯虚数？ 23111［生］它们都是虚数，它们的实部分别是2,-3,0,3;虚部分别是3, , ,-5;i是纯

233请你们说出复数2+3i,3虚数.

［师］-2i+3.14的实部和虚部是什么？ ［生］实部是-2，虚部是3.14.

［众生］(齐声说)错！实部是3.14,虚部是-2.

［师］实数集和复数集之间的关系如何呢？ ［生］实数集R是复数集C的真子集，即RC. ［师］数集扩充后，常用的数集之间有什么关系？

［生］NZQRC.

［师］有没有两个复数相等呢？如何定义？

［生］如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说：如果a、b、c、d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d.［师］复数z=a+bi(a、b∈R)为零的充要条件是什么？ ［生］复数a+bi=0(a、b∈R)的充要条件是a=0且b=0.

［师］复数相等的定义是在复数集中解方程的重要依据.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题“任何两个复数都不能比较大小”,对吗？

［生］不对.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.

［师］“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质.（打出幻灯片§4.1 B）(由学生阅读)(二)课本例题

［例1］实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

分析:因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值. 解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

（3）当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数z 是纯虚数. ［例2］已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x、y∈R, 求x与y. 分析:运用复数相等的定义求解.

2x1y5解：根据复数相等的定义，得方程组所以x,y=4.

21(3y)(三)精选例题

［例1］复数z=log2(x2-3x-3)+log2(x-3),当x为何实数时，（1）z∈R;(2)z为虚数；（3）z为纯虚数.

x23x3＞0,①解:（1）因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零，所以有

log(x3)0.②2由②得x=4,经验证满足①.

所以当x=4时，z∈R.

x23x3＞0,(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零，所以有解得

2(x3)0.log321321321321或x＜x＞＜x＜4或x＞4.所以当＜x＜4或x＞4时，22,即

22x＞3且x4z为虚数.

(3)因为一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为0，所以有

log2(x23x3)0,x或x4,解得无解. x＞3且x4,log2(x3)0.所以复数z不可能是纯虚数.

［例2］设复数z=2logax+(loga2x-1)i(a＞0,a≠1),问当x为何实数时，z是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 解:（1）当loga2x-1=0,即x=a或

1时，z为实数. aloga2x101（2）当即x≠a,x ,

ax＞0∴x＞0且x≠a且x1时，z是虚数. ax2loga0,（3）当即x=1时，z为纯虚数. xloga10,［例3］判断下列式子的对错：

(1)当z∈C,则z2≥0;

(2)若z1、z2∈C,且z1-z2＞0，则z1＞z2;(3)若a＞b,则a+i＞b+i.

解:(1)z2≥0,当且仅当z∈R时成立，如设z=i,则z2=i2=-1＜0,故（1）是错误的.

(2)反例：设z1=2+i,z2=-1+i,满足z1-z2=3＞0,因此z1、z2不能比较大小，故（2）也是错误的.(3)∵a＞b,故a、b∈R.∴a+i与b+i都是虚数，不能比较大小.故（3）错.

解题回顾：理解复数与实数的一个重要区别：两个复数如果不全是实数，就不能比较大小，因此不等式的性质在复数集中不适用. ［例4］（1）设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时，z是实数、虚数、纯虚数？

（2）bi是什么数？

解:（1）当a、b同时为0时，z为实数；当a、b不全为0时，z是虚数；当a、b有且仅有一个为0或者说a、b有且仅有一个不为0时，z为纯虚数.

(2)当b=0或b为纯虚数时，bi是实数；当b为不是0的实数时，bi是纯虚数；当b为非纯虚数时，bi是非纯虚数.

解题回顾：在判断所给一个复数类型时，首先一定要弄清题目中的参数有无要求，然后再将复数中的实部与虚部分清. Ⅲ.课堂练习

(一)课本Ｐ149练习1、2.(二)补充练习 1.设集合C=｛复数｝,A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是（）A.A∪B=C

B.CSA=B C.A∩(CSB)=

D.B∪(CSB)=C 答案：D

2.若复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i3sinθ,z1=z2,则θ等于（） A.kπ(k∈Z) C.2kπ±

B.2kπ+ (k∈Z) 3(k∈Z) 3D.2kπ+(k∈Z)

6解析:∵z1=z2,∴其充要条件为

1sin,sin2cos,2∴ cos3sin.tan3.3∴θ=2kπ+,k∈Z.故选D. 6答案：D 3.已知集合M=｛1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i｝,集合P=｛-1，3｝.M∩P=｛3｝,则实数m的值为（） A.-1 B.-1或4

C.6

D.6或-1 解析：由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.

2m3m13,∴2∴m=-1.故选A. m5m60.答案：A 4.满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数是_________.

x3或x1,2x2x30,解析：由题意知2∴ 16y6y10.y3.∴点对有(3,11)、(-1,),共有2个. 33答案：2

5.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数，求m的值.

2m3m31,log2(m23m3)0,解：由题意知∴3m1,log(3m)o23m＞0.m23m40,∴ m2且m＜3.∴m=-1.

6.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值. 解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.

x2mx20,∴ 2xm0mm2m220.∴x,242∴m2=8.∴m=±22.7.已知m∈R,复数z纯虚数；(4)z=m(m2)+(m2+2m-3)i,当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；（3）z是

m11+4i. 2m22m30,解：（1）m需满足

m10.解之得m=-3.

(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0，解之得m≠1且m≠-3.

m(m2)0,(3)m需满足m1

m22m30.解之得m=0或m=-2. m(m2)1,(4)m需满足m12

m22m34.解之得m∈.

8.(2005年湖北省五校联考)已知k∈R,方程x2+(k+3i)x+4+k=0一定有实根的充要条件是（） A.|k|≥4

B.k≥2+25或k≤2-25 D.k=-4 C.k=±32

解析:设x=t是方程的实根,

∴t2+kt+Δ+k+3t·i=0.

t2kt4k0,由复数相等的定义知

3t0.∴k=-4.故选D. 答案: D Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题. Ⅴ.课后作业

课本Ｐ150习题4.１1、2、3、4. 板书设计

§4.1复数的有关概念

一、虚数单位i:i2=-1. 两条规定：(1)i2=-1;

(2)i与实数满足加、乘运算的有关运算律.

二、复数定义： 1.形如a+bi(a、b∈R)叫做复数. 2.分类

b0实数zazabia0纯虚数

b0z为虚数a0非纯虚数3.复数相等的充要条件(a、b、c、d∈R)

z1=a+bi,z2=c+di,z1=z2

ac,bd.z=a+bi=0a=b=0. 例题分析

课本例题 例1 例2 精选例题 例1 例2 数系扩充

正整数有理数０实数分数复数无理数虚数预习提纲 1 2 ……

负

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