平面向量的坐标运算教案1[定稿]_平面向量坐标运算教案

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平面向量的坐标运算教案1

教学目标

1．理解平面向量的坐标表示方法，包括起点是坐标原点的向量坐标表示法，起点不是坐标原点的向量坐标表示法、相等向量的坐标表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示法．

教学重点和难点

重点：平面向量的坐标表示法，特别是起点不是坐标原点的向量坐标表示法．平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标运算．

难点：起点不是坐标原点的向量的坐标表示．

教学过程设计

(一)复习近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任

＝λ

1，有且只有一对实数λ

1、λ2，使、λ

2．这里、表示这一平面内的一组基底．平面向量的基本定理说明：同一平面内任一向量都可沿两个不共线的基底进行分解．

(二)导入新课

1．平面向量的坐标表示

在直角坐标平面内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量基本定理，对平面内任一向量对实数x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我们把(x，y)叫向量

在y轴上的坐标．的(直角)坐标．其中x叫在x轴上的坐标．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐标表示．

(1)目前我们已掌握了向量的三种表示方法：

表示法是向量的代数表示法，它有利于向量的运算．

(2)根据向量可以平移的观点，平面内与向量相等的向量的坐标也为(x，y)．

(3)显然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐标平面内设＝x＋y，向量的坐标为(x，y)，这就是点A的坐标，反过来点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示．

(5)设A点的坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)

2．平面向量的坐标运算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．两向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的减法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．两向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和实数λ．

(Ⅲ)实数与向量的积：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

(2)根据向量差的坐标运算，我们可以得到起点不是原点的向量的坐标表示．

设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)．

求向量的坐标．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．

(三)学生课堂练习(黑板板演，加课堂练习)

1．课本练习3．已知A、B两点的坐标，求、的坐标．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．课本练习1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．课本练习2 －

24．课本练习4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教师讲解例题，巩固提高

例1 已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标．

分析：平行四边形ABCD中，＝

．由此来确定D点的坐标．

解：设D点坐标为(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D点坐标为(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以为一组基底来表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋．的坐标可求出，、的坐标可求出．设

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小结：教师总结重点内容

1．向量的坐标表示

＝(x，y)．

2．起点不是原点的向量的坐标求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

3．向量的坐标运算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

(六)作业 习题5．41、2、3、4、5．