三元一次方程组解法举例教案_一元三次方程组的解法

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三元一次方程组解法

三元一次方程组的解法

①xyz12例1.解方程组x2y5z22②

x4y③发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.解法1：消x ②-① 得 y+4z=10.④

③代人① 得5y+z=12.⑤

由④、⑤得y4z10,5yz12.④ ⑤解得y2,z2.把y=2,代入③，得x=8.x8,∴y2, 是原方程组的解.z2.方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.解法2：消x

由③代入①②得5yz12,④

6y5z22.⑤y解得

z2.把y=2代入③，得x=8.x8,∴y2, 是原方程组的解.z2.【方法归纳】

类型一：有表达式，用代入法.针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.解法3：消z

①×5得 5x+5y+5z=60，④ x+2y+5z=22，② ④-②得 4x+3y =38 ⑤

由③、⑤得③x4y,4x3y38.⑤解得x8,y2.把x=8,y=2代入①，得z=2.x8,∴y2, 是原方程组的解.z2.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元.三、典型例题讲解

例

1、解方程组分析：

方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标． 解法1：

代入法，消x.把③分别代入①、②得

解得

把y＝2代入③，得x＝8.因此三元一次方程组的解为

观察方程组进行分析，方程组中的方程③里缺z，因此利用①、②消z，也能达到消元构成二元一次方程组的目的． 解法2：消z.①×5得 5x＋5y＋5z＝60 ④

④－② 得4x＋3y＝38

⑤

由③、⑤得

解得

把x＝8，y＝2代入①得z＝2.因此三元一次方程组的解为点评：

解法一根据方程组中有表达式，可用代入法消元.解法二根据方程组中③缺z元，可由①②消去z元得关于x，y的方程组.例

2、解方程组分析：

.通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等．具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解．

解：

由①＋②＋③得4x＋4y＋4z＝48，即x＋y＋z＝12.④

①－④得 x＝3，②－④得 y＝4，③－④得 z＝5，因此三元一次方程组的解为小结：轮换方程组，采用求和作差法.例

3、解方程组分析1：

观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x∶y＝1∶2得y＝2x； 由x∶z＝1∶7得z＝7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解． 解法1：

由①得y＝2x，z＝7x，并代入②，得x＝1.把x＝1，代入y＝2x，得y＝2；

把x＝1，代入z＝7x，得 z＝7.因此三元一次方程组的解为分析2：

由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x︰y︰z＝1︰2︰7，可设为x＝k，y＝2k，z＝7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得． 解法2：

由①设x＝k，y＝2k，z＝7k，并代入②，得k＝1.把k＝1，代入x＝k，得x＝1；

把k＝1，代入y＝2k，得y＝2；

把k＝1，代入z＝7k，得 z＝7.因此三元一次方程组的解为

小结：遇比例式找关系式，采用设元解法.例

4、解方程组分析：

对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”． 解：

①＋③ 得5x＋2y＝16，④

②＋③ 得3x＋4y＝18，⑤

由④、⑤得

解得

把x＝2，y＝3代人②，得 z＝1.因此三元一次方程组的解为小结：

一般选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；或选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元．

1.例

5、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个？ 分析：

设篮球数为x个，排球数为y个，足球数为z个，分析题中存在的相等关系：

①篮球数＝2×排球数－3，即x＝2y－3；

②足球数：排球数＝2∶3，即z∶y＝2∶3；

③三种球数的总和为41个，即x＋y＋z＝41.解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，依题意，得

解这个方程组，得

答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个.