上教版高二数学教案——7.7数列的极限1_高二数学教案数列

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数列的极限

教学目的：1．理解数列极限的概念；

2．会根据数列极限的定义，由数列的通项公式考察数列的极限。教学重点：会判断一些简单数列的极限 教学难点：数列极限概念的理解 授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入：

1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去。可以求出第n天剩余的木棒长度an

二、讲解新课： 数列极限的定义：

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数A（即．．．．．，那么A叫做数列an的极限，或叫做数列an收敛于A。记作anA无限趋近于0）(尺)；分析变化趋势（从数和形两个角度分析）2nlimanA，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”。

n“n”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。

理解：数列的极限是直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义。“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数A”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于A是在无限过程中进行的，即随着n的增大an越来越趋近于A（即极限与数列前面的有限项无关）；另一方面，an不是一般地接近于A，而是“无限”地趋近于A，即anA随n的增大而无限地趋近于0。注：（1）limanA等价为limanA0

nn

（2）“无限趋近于”不能用“越来越接近”代替。

三、讲解范例：

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。

111，；

23n1111，()n,（2），39273（1）1，,（3）2,4,6,（4）；,2n,；

3927，,2483,()n,2；（5）2,2,2,（6）a,a,a，2,；（变化：4,16，4100,2,2,2,）,a

分析：判断是否有极限的方法可通过直观判断，画图像，列表等方法。

10 nn1n（2）当n趋向于无穷大时，数列的项无限的趋近于0，即lim()0

n3解：（1）当n趋向于无穷大时，数列的项无限的趋近于0，所以lim（3）当n趋向于无穷大时，2n的值越来越大，不可能无限趋近于一个常数，所以an2n极限不存在。

（4）当n趋向于无穷大时，()的绝对值越来越大，不可能无限趋近于一个常数，所以无极限。

（5）∵2(2)0，∴lim(2)0

n32n（6）无极限，因为有限项。注：几个重要极限：（1）lim10；（2）limCC（C是常数）

nnnnn（3）limq0(q1)

2n1有没有极限，并说明理由。n2n11112，得an2，又lim0，所以liman20 解：由annnnnnn例2：判断an即liman2

n注：此类题目前可以通过转化为考察anA是否无限趋近于零来解决，学习了极限四则运算后过程将更简便。

四、课堂练习：

书P38/1，2，P39/1，21、请写出若干个符合下列条件的数列：（1）极限为零且数列的每一项都大于零；（2）极限为零且数列的每一项都小于零；

（3）极限为零且数列的项在正数和负数之间交替变化。

11n111n1(1)n(1)n},{n}等。解：（1）{},{n},{2}等；（2）{},{n},{2}等；（3）{

n3nn3nn22、判断下列命题的真假：

（1）若无穷数列an有极限为A，那么有anA；

（2）若无穷数列an的极限为A，bn的极限为B，且对任意nN，都有anbn，那

么AB；

（3）若无穷数列an的极限为A，bn的极限为B，且AB，那么必定有anbn。

五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力，要着重注意“无限趋近于”的含义，同时要能够判断简单的无穷数列的极限是否存在的问题。

六、课后作业：练习册7.7（A）/1，2，3，4，5，6，7

七、课后反思：