北京航空航天大学附属中学教案_北航附中官网
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TEXAS INSTRUMENTS
随机模拟（蒙特卡洛）方法
课题：随机模拟（蒙特卡洛）方法
授课教师：北京101中学-何棋
【教学目标】
学生经过利用图形计算器进行数学实验，体验用随机模拟的方法对随机事件的概率进行估计，进一步体会用频率的稳定值来刻画概率的思想，理解随机模拟方法是解决一类问题的必要方法；通过数学实验将数学对象进行多元联系表示，培养数感和识图能力，提高应用信息技术学习数学的能力，激发数学学习热情，培养数学探索的精神，提高数学应用意识． 【教学重点】随机模拟的方法。
【教学难点】概率模型的建立、随机模拟的方法的原理和应用。【教学资源】TI Nspire CAS图形计算器
【教学方法】教师引导学生使用图形计算器进行探究发现学习
组织方式
截图
【教学环节】 热身练习的范围是（）
A 0
E 0.9
概率是描述随机事件发生的可能性的大小的量，本章开始用频率的稳定值来刻画概率，称为频率方法（Frequency approach），就需要我们进行大量的重复实验，来探究频率的稳定值。下面我们就用这个方法来探究例1
例1．将一枚均匀的硬币抛掷3次，正面朝上的次数有哪些？它们发生的概率分别是多少？
教师引导学生做实验，改变实验次数，观察图形的变化，分析每个结果发生的频率的关系。
教师从引导学生从所有学生的结果中分析出普遍的规律： 分析：设正面朝上的次数为X，则X可能取值为0,1,2,3 发现：P(X=0)≈P(X=3)；P(X=1)≈P(X=2)，且P(X=1)≈3P(X=3)又因为P(X=0)+P(X=3)+P(X=1)+P(X=2)=1，所以8P(X=0)=1，©2013 Texas Instruments Incorporated
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Author: 北京市101中学 何棋 TEXAS INSTRUMENTS
随机模拟（蒙特卡洛）方法
P(X=0)=1/8 所以P(X=0)=P(X=3)=1/8；P(X=1)=P(X=2)=3/8
下面用理论方法（Theoretical approach）来分析
我们可以用树形图法列出该实验的全部的结果即基本事件（样本）空间（sample space），如图，Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}，一共8个结果，每种结果是等可能的（equally likely outcome）
当X=0或3时有1种结果，当X=1或2时有3种结果，所以P(X=0)=P(X=3)=1/8；P(X=1)=P(X=2)=3/8
将本次实验的频率和概率列表并且作出图像，可以观察到随着实验次数的增加，频率越来越接近概率值。如图
例2．如图，在边长为1正方形ABCD中，随机取一点，求该点落在扇形区域内的概率
solution: Sample space Ω={(x,y)|x,y∈(0,1)} All outcomes are equally likely ,S(Ω)=_1_ Let E represent The required event ，DCE={(x,y)|xy122,x,y∈(0,1)},S(E)=
4
ABso P(E)= S(E)S()=_
4_.实验：用随机模拟的方法估计概率
思考：能不能概率的估计值来计算π的近似值？
©2013 Texas Instruments Incorporated
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Author: 北京市101中学 何棋 TEXAS INSTRUMENTS
随机模拟（蒙特卡洛）方法例
3．如图，用蒙特卡洛方法估计函数
f(x)ex2x[0,1]的图象和坐标轴、直线
x=1围成图形的面积
课后作业 作业要求：每个题目先用理论方法完成，然后在图形计算器上用随机模拟方法完成第2题，并且和理论值比较
1.在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C，分别求满足下列条件时，|AM|
（1）在线段AB上任意取一点M（2）在△ABC中任意取一点N，做一条射线CN，与线段AB交于点M，（3）在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，2．如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、D，B与C、D之间的距离都不小于10米的概率是多少？
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；
(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．
4．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率． 5．用随机模拟的方法函数f(x)x3,x[0,1]的图象和坐标轴、直线x=1围成图形的面积
（1）写出计算器随机模拟的程序
（2）写出至少 5次实验的结果，每个包括实验的次数、满足条件的次数、频率
（3）写出面积的估计值
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Author: 北京市101中学 何棋
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