12章感应教案04_感应性教案

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第十二章 电磁感应

1.教学目标和基本要求(1)理解电动势的概念。

(2)掌握法拉第电磁感应定律及楞次定律，理解动生电动势及感生电动势的概念和规律并能计算(3)理解自感系数和互感系数的定义及其物理意义并能作出计算

(4)理解磁场能密度的概念，在一些简单的对称情况下，能计算磁场能 2.教学内容 §12-1 电动势 §12-2 电磁感应定律 §12-3 动生电动势 §12-4 感生电动势、有旋电场 §12-5 自感 §12-6 互感 §12-7 磁场的能量 学时：8学时

3.教学重点：法拉第电磁感应定律及其应用，动生电动势、感生电动势的概念和规律，自感系数、互感系数的定义即物理意义，磁场能密度、磁场能量

教学难点：动生电动势及感生电动势的计算，自感系数及互感系数的计算 4.教学内容的深化和拓宽 5.教学方式：课堂教学

6.主要参考书：唐南 王佳眉主编《大学物理学》，高等教育出版社，2003

第一单元

第十二章

电磁感应

§12-1 电动势

1．非静电性场

Ek2．电动势



lFk qkEdl

§ 12.2 电磁感应定律

一 楞次定律 能量守恒定律在电磁感应中的具体表现

二

法拉第电磁感应定律：当回路中的磁通量变化时，在回路上产生的感应电动势为

对于线圈，全磁通i

d dt定律来确定感应电动势的大小，问题就可以获得完满的解决。

例12.1 如图12-7所示，一长直电流I旁距离r处有一与电流共面的圆线圈，线圈的半径为R且R

dI

(1)若电流以速率增加；

dt

(2)若线圈以速率v向右平移。

解

按题意，线圈所在处磁场可看作匀场

且方向向里，故穿过线圈的磁通量为

B0I 2r

图12-7 例12.1图

0I0IR22 BSR2r2rIR2dd0dtdt2r0R2dI 2rdt

(1)按法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势大小为

由楞次定律可知，感应电动势为逆时针方向。

(2)按法拉第电磁感应定律 由于

由楞次定律可知，感应电动势为顺时针方向。

例12.2 如上题图12-7所示，一长直电流I旁距离r处有一与电流共面的圆线圈，半径为R，且R

解

设线圈回路l的正方向为顺时针方向，则l所围面积S的法向向纸内，过S的磁通量为正。

0IR2dddtdt2rdrv，故 dt10IR2d110IR21dr 2dtr2r2dt0IR2v2r2

Bs0IIR2 R202r2r按电磁感应定律，沿l产生的感应电动势为

dd0IR20R2dIdtdt2r2dtr dIdrrI222RIRvRdI0dt2dt02022rdtr2r若0，表示感应电动势沿l方向，若0，表示逆l方向。不难看出，例12.2讨论的情况是例12.1所讨论的(1)、(2)两种情况的综合，其结果也正是例12.1所得到的两个结果的迭加。

例12.3 如图12-8所示，一回路l由N匝面积为S的线圈串联而成，回路绕行的正方向及面积S的法向矢量n均已标明在图中。线圈绕z轴以匀角速度转动，t=0时线圈法向与x轴的夹角0。若有均匀磁场沿x轴方向且BB0sint，求回路中的感应电动势。

解

由题意可知，磁感应强度BB0sint的值是按正弦规律振荡的，所以图中标出的B的方向应该是一个参考方向。就是说，若B0，即B沿x轴方向，若B0，即B逆着x轴方向。由于磁场是均匀磁场，所以面积S上的磁链数。

按题意

故

BB0sint

y N l en x  z B

图12-8 例12.3图

N1NBScos

t

NB0Ssintcost1NB0Ssin2t 2磁链数也是一个振荡的量，当B与n成锐角时，0，B与n成钝角时，0。感应电动势为

dNB0Scos2t

dt当0时，电动势沿着回路的正方向，0时，电动势沿回路的负方向。感应电动势是一个交变电动势，其频率为转动频率的2倍，这是由于磁场也是在振荡的缘故。若磁场为恒定磁场B=B0，则

则感应电动势

N1NBScosNB0Scost

dNB0Ssint dt即为一般发电机中的交变电动势，其频率与转动频率一致。

三 感应电流和感应电量

闭合回路中的感应电流 闭合回路中的感应电流

Iq1d Rdt12 R作业：12-4、6、8、9、10

第二单元

§ 12-3 动生电动势

一 动生电动势

二 动生电动势的机制的解释 一段运动导线在磁场中运动时，以洛伦兹力为非静电力而形成一个电源。动生电动势

Ekdl(vB)dl

ll电动势的大小等于导线在单位时间扫过的磁通量(或形象地说成：单位时间切割磁力线的条数)。电动势的方向可以用正载流子所受洛伦兹力的方向来判定。三 动生电动势与能量转换 洛伦兹力实现了机械能向电能的转化，但它的总功为零。

例12.4 如图12-12所示，一导线弯成3/4圆弧，圆弧的半径为R。导线在与圆面垂直的均匀磁场B中以速度v垂直于磁场向右平动，求导线上的动生电动势。

解

直接考虑圆弧扫过的磁通量或作积分均可解出此题，但最简单的方法是作一个回路借助法拉第电磁感应定律来求解。设想连接ao和ob，使导线形成一个回路。顺便说明一下，圆弧上的动生电动势只取决于圆弧在磁场中运动的情况，与是否连成一个回路无关，因而连接后圆弧上的动生电动势并不会发生改变，但是计算却要简单得多。此时回路中的磁通量是一个常量，所以回路电动势为零。回路电动势为零并不意味着回路中没有电动势分布，而是电动势在回路中相互抵消了。ao段由于不切割磁力线所以没有动生电动势，bo段上的动生电动势的大小显然为

方向向上。故圆弧上的动生电动势也必然为

oa0

boBRv

BRv

其方向应沿回路抵消bo段上的电动势bo，即是沿弧由b到a的方向。

B a O v v dr r B b

图12-12 例12.4图

图12-13 例12.5图

例12.5 如图12-13所示，有一长度为l的直导线，在均匀磁场B中以角速度绕其一端O转动，转轴与磁场方向平行，求导线上的端电压。

解

在导线上距O为r处取一线元dr，线元在磁场B中以速度vr垂直于磁场运动，故线元成为一微元电源。线元的方向、磁场方向和运动方向相互垂直，所以微元电动势为

dBvdrBrdr

方向指向O点。整个导线上有无数个微元电源串联，故导线上的电动势为

l1dBrdrBl2

02方向指向O，即O端为电源正极。由于导线未接入回路，电源开路，故端电压等于电动势

O端电势高。

U1Bl2 2 a r b

例12.6 如图12-14有一半径为r的半圆环导线在匀磁场B中以角速度绕与磁场垂直的轴ab旋转，当它转到如图位置时，求圆环上的动生电动势。

解

此题用积分来计算颇为麻烦，可考虑作一回路来帮助我们分析。设想连接ab，形成一个半圆回路，由于转轴不运动，所以ab段上没有

B

图12-14 例12.6图

动生电动势，若求出回路上的电动势，就应该等于半圆环上的电动势。回路上的电动势正好是一个交变电动势(见§12-2节的例12.2)。如图设回路l的绕行为正方向，则此时回路面积S的法向n向外，与磁场B的夹角90，故回路电动势为

1Br2 2BSsin0，即沿绕行的正方向。如前所述，由于ab段上没有动生电动势，故这就是圆环上的动生电动势。回路电动势沿绕行正方向表明圆环上的电动势应是沿圆环从a到b的方向。

半圆环上的电动势的方向也可以用载流子所受洛伦兹力的方向来判定。设载注子带正电荷，此时载流子正随半圆环向外运动，所受洛伦兹力向右，因而载流子将沿圆环向右偏移，使b端带正电，即为正极，a端为负极，动生电动势是从a到b的方向。

例12.7 如图12-15，在距长直电流I为d处有一直导线长为l，与电流共面，图中倾角为，导线以速度v向上平动，求导线上的动生电动势。

v I dr b v I p d a   a O

图12-15 例12.7图

图12-16 例12.8图

解

在直导线上取线元dl，该处磁场B0I，方向向内，线元dl上有一个微元电动势dBvcosdl，由于2rcosdldr，故d

方向为b →a方向。0Ivdr，方向指向a端。导线上的电动势为各微元电动势的串联，故 2rdldlcosd0Ivdr0Ivdlcos ln22d

例12.8 如图12-16，在长直电流I的磁场中，一长为l的直导线，绕距长直电流为a的O点在长直电流所在平面内以角速度旋转，当导线转到如图倾角为的位置时，求导线上的电动势。

解

在直导线上距O为l处取线元dl，在dl上微元电动势

IdBvdl0ldl

2r方向为po方向，dl距长直电流ralcos，故有l

radr及dl，所以

coscosIra0Idrdrd0(dra)

2rcoscos2cos2ralcosa故导线上的电动势方向亦为po方向，大小为

0Idr(dra)2r2cos0Ialcos(lcosaln)2a2cos 作业：12-22、25、26、27

第三单元

§ 12-4 感生电动势、有旋电场

一 有旋电场 此场有旋：Edll0

无源：sDds0

l其中DE

二 感生电动势与有旋电场的关系 磁场变化率 B左旋 tEdlllBds st负号源自楞次定律，表示有旋电场E绕

例12.9 如图12-18所示，半径为R的长直螺旋管中有一圆柱域均匀磁场B正以速率有旋电场在空间各点的大小和方向。

解

由于变化磁场是轴对称的，所以它激发的有旋电场也必然是轴对称的，而满足轴对称的有旋电场的力线，只能是绕对称轴的一族同心圆，且在同一圆周上，场强的大小E应处处相等，如图12-18所示。

考虑管内部即r

dB路l，则l所围面积S的法向向里。由于磁场B在增强，可见磁场变化率也

dt向里，于是由楞次定律可判定回路中感生电动势是反l方向的，这意味着有旋dB电场的方向是逆着l方向，即绕左旋的，如图12-18所示。下面求解有旋电dt场的大小，按

dBdS s1dtdB增强，求它所激发的dtE l r R

图12-18 例12.9图

lEdl1

由于回路l上有旋电场E与线元矢量dl处处反向且大小不变，而面积S上，小不变，故有

dB与面元矢量dS处处同向且大dt 6

由之得到管内有旋电场大小为

E2rdBr2 dtE内

在管外的情况可作同理分析，但 得到

方向仍为绕dB左旋方向。dtrdB

(12-20)2dtdB的面积分实际上只在磁场所在的面积SR2上进行，故有 dtE2rdBR2 dtR2dB E外2rdt(12-21)

在讨论下一个例题之前，我们要提出一个应该注意的问题。对于有旋电场，其环流不等于零，即对于由某起点a到某终点b的线路积分Edl与l的路径相关，所以我们不能如同静电场那样对

l有旋电场也定义一个相应的电势或电压。我们所提到的电势均是指静电场中的电势而言。

例12.10 如图12-19所示，在一个通电螺线管的横截面上，有一长度为L的金属棒ab，与螺线管轴线的距离为h，磁场B垂直纸面向里，且以dBdt的速率增强，求金属棒上的感生电动势。

解

磁场B向里并在增强，故dBdt也向里。有旋电场E应绕dBdt左旋且满足轴对称性，故它的电场线应是一族逆时针走向的同轴圆，它的大小可由例12.9的结果得到为

如图所示取一线元dl，在dl上的微元电动势

如图可知rcosh，故

沿ab方向的感生电动势为

dhdBdl 2dtdEdlEcosdlrdBcosdl 2dtErdB 2dt

图12-19 例12.10图

dabdBLhdBdl

a2dt2dtbh0即电动势沿ab方向。

本题也可以利用电磁感应定律来求解。连接oa、bo形成一个回路，回路电动势的大小为

dd(BS)dBLhdB

Sdtdtdt2dt在oa和bo两段上，导线沿圆周径向，而有旋电场沿圆周切向，故每一线元dl都与有旋电场垂直，线元上的微元电动势

dEdl0

所以oa、ob两段上没有感生电动势。故棒上的电动势就是整个回路的电动势，所以棒上的电动势为 LhdB 2dt按楞次定律，回路电动势是逆时针方向，也即棒上的电动势应是ab方向。

§

12-5 自感

一 自感系数： 有LI，定义自感系数：L 其中为全磁通；

IL取决于回路形状和介质性质，此处表征回路自己产生磁通量的能力。

例12.11 一长直螺线管长度L，截面积为S，内有磁导率为的磁介质，共密绕N匝线圈，缠绕密度nNL，求它的自感系数。

解

设螺线管载流为I，忽略磁漏和边缘效应，由安培环路定理可求得管内磁场为

是一个均匀磁场，磁链数为

螺线管的自感系数为

其中V=LS为螺线管的体积。

例12.12 同轴电缆由两个同轴的导体薄圆筒组成，其间充满磁导率为的磁介质，如图12-21所示。使用时内、外圆筒分别沿轴向流过大小相等、方向相反的电流。设电缆长度为l内外圆筒半径分别为R1和R2，求电缆的自感系数。

LBnI

N1NBSNnIS

INnSLnnSn2V

(12-24)

图12-21 例12.12图

解

忽略边缘效应，由安培环路定理，可得到磁感应强度

B0(rR1,rR2)

BI2r(R1rR2)

即磁场集中在两个圆筒之间。回路的走向是PQRSP，回路所围面积即为矩形PQRS的面积。应注意，回路所围面积不是圆环面积，因为电流是轴向电流而不是环形电流。回路中的磁通量为

故电缆的自感系数为

单位长度上的自感系数为 BdSBldrR2R1IIlR2 ldrln2r2R1LIlR2 ln2R1(12-25)二 自感系数与自感电动势的关系 L

d(LI)ddIL dtdtdt负号表明自感电动势总是反抗电流的变化。

或者记作 LL 此亦可作为自感系数的定义，自感系数代表回路自己激发电动势的dI/dt能力

作业：12-30、32、37、39、40

第四单元

§ 12-6 互感

一 互感系数：有21MI1，定义 M2112 其中21和12为全磁通。

12MI2I1IM的取决于两回路形状，相对位置及周围介质的磁导率。此处表示两回路相互产生磁通量的能力。

二 互感系数与互感电动势的关系 21MdI1 或者记作 Mdt

12MdI2 dt21dI1/dt12dI2/dt 此亦可作为互感系数的定义，表示两回路相互激发感应电动势的能力。

式(12-29)常用于计算互感系数，其思路可以有两个。一个是设回路l1中有电流I1，求出I1在回路l2中激发的磁场B21，进而求出磁通量21，然后除以I1即得M。另一思路是设I2，通过12求出M。应注意，无论先设I1或I2，所求结果是相同的，但不同的设法，求解过程的难易程度并不相同，有时甚至差别很大。

例12.13 如图12-24有两个耦合螺线管，其截面积均为S，两螺线管的长度分别为l1和l2，缠绕密度分别为n1、n2，管中介质的磁导率为，求它们之间的互感系数。

解

此题中设线圈2中有电流I2稍为简单一些。此时线圈1中由I2激起的磁场为

磁链数为

B12n2I2

l2n2 l1n1

图12-24 例12.13图 故互感为

12N1B12SN1n2I2S

M12I2N1n2Sn1l1n2Sn1n2V

1(12-30)其中V1=l1S为第一个螺线管的体积。

例12.14 有两个圆心共面的圆线圈，半径分别为R1和R2，且R1R2，求它们之间的互感。

解

见图12-25，此题若设小线圈中有电流I1，则在大线圈所围的面积上的磁场B是很难求出来的。如果设大线圈上有电流I2，按题意，小线圈面积上的磁场可看作是匀场，就容易求解了。设线圈2上有电流I2，小线圈内的磁场 磁通量

故互感系数为

LB120I2R2

12B12S10I2R2R12

R1 R2 12I20R122R2

图12-25 例12.14图

例12.15 如图12-26，一长直导线与一宽为a、高为b的单匝矩形回路共面，相距为d。若矩形回路中有顺时针方向的电流I，且I正以速率dI增加，求长直导线中的感应电动势。dti I

解

长直导线可看作在无限远处闭合的回路，如图中虚线所示，但感应电动势仅出现在矩形线框电流附近的长直导线中。此题用电磁感应定律很难求出，应先求出互感系数，再由(12-31)式求互感电动势。

设长直导线中有电流i，则i在矩形线框中产生的磁通量为

dai0bdr0iblndadBdSBdS

d2r2db d a 故两回路互感系数为

bdaM0ln

i2d图12-26 例12.15图

故矩形线框中电流I变化时在长直导线中产生的互感电动势的大小为 dI0bdIdaMln

dt2dtd按楞次定律可知长直导线所形成回路的互感电动势应是逆时针方向的，也即长直导线上的电动势方向向下。

例12.16 如图有两自感线圈串接，若已知两自感线圈自感系数为L1和L2，互感为M，求串联线圈的等效自感。

解

设回路方向为abcd方向，回路中的电流为I，则回路的全磁通为两个线圈中的磁通量之和

d c l b I 12

a l I 1为第一个线圈中的磁通量，它等于第一个线圈自已产生的磁通量11和第二

图12-27 例12.16图个线圈产生的磁通量12的代数和。按图12-27所示，两个线圈的磁场是彼此增强的，故11和12应相加，此时我们称两个线圈是顺接的。

同理，2为第二个线圈中的磁通量，有

故回路全磁通为

串联线圈等效自感为

L11112L1IMI

22221L2IMI

(L1L22M)I

IL1L22M

若把线圈抽头bd相连，则两个线圈的磁通量彼此削弱，此时我们称两个线圈是反接的，有

串联线圈的等效自感为

LL1L22M

11112L1IMI

22221L2IMI

§ 12-7 磁场的能量

一 自感的磁能 Wm二 磁能密度 12LI 2B211wmBHH2

222体积V中的磁场能量为

WmdWmwmdVvvvB2dV 2例12.17 同轴电缆由半径为R1和R2，长度均为l的两个同轴的导体薄圆筒组成，其间充满磁导率为的磁介质。内外圆筒分别流过大小相等，方向相反的电流，其截面图见图12-29，求电缆中的磁场能量。

解

在例12.12中已求出同轴电缆的自感为

LlR2 ln2R1故可由自感的磁场能量公式(12-34)直接得到电缆的磁场能量

121LR22lI2R2WmLIlnIln

222R14R1也可以用磁场能量密度来计算。电缆的磁场集中在两个圆筒之间，故只须计算这个体积内的磁场能量。见图12-29，取一长度为l，半径为r，厚度为dr的圆柱壳，它的体积为

圆柱壳内磁场的大小是相同的

BdV2rldr

I 2r 11 故磁场能量密度是均匀的

圆柱壳中的磁场能量为

电缆中的磁场能量为 B2I2wm

282r2I2lI2dWmwmdV2rldrdr

4r82r2

WmR2lI2vdWmR4rdrlI2R214lnR 1 作业：12-41、43、45、47、51