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导课:在第一章中我们初步了解了力的基本概念和力的基本性质,以及力的一系列的特殊状况,力的约束解除和物体的受力图表示方法.第二章

基 本 力 系

§2-1 汇 交 力 系

一、空间力的投影

1.用角θ和 Φ 表示力的方向 力Fx、Fy、Fz的大小分别为

图2-1 设i、j、k为x、y、z轴上的单位矢量，根据矢量的正交分解特性，力F表示为

其大小

其方向用θ角，Φ角表示为

2.用方向余弦表示力的方向

设α、β、γ分别表示力F与Ox轴、Oy轴、Oz轴正向之间的夹角，它们统称为方位角。则力F在三个直角坐标轴上的投影分别为

力F的大小由(2-3)式算出，力F的方向由

决定。cosα、cosβ、cosγ统称为力的方向余弦。

图2-2

图2-3 3.用一线段的三个投影表示力的方向

设一已知沿F指向的线段ON在三直角坐标轴上的投影分别为lx、ly、lz。以OA和ON为对角线分别作两个相似长方体。显然，三角形OAC和三角形ONK相似(图2-3)，对应边成比例有

得

同理有

即

其中

若已知线段MN的起点不在坐标原点，起点M的坐标为(x1、y1、z1)，线段终点N的坐标为(x2、y2、z2)，MN方向与已知力F一致(图2-4)。于是

将(2-8)式代入(2-7)式中，则可求得力F在三个直角坐标轴上的投影。由图知：lx0，lz>0，故由(2-7)式得Fx0。

二、汇交力系的合成作用于物体上诸空间力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力系。若诸空间力的作用线仅分布于同一平面且作用线汇交于一点，这类力系称为平面汇交力系。研究汇交力系合成的方法有几何法和解析法。1.几何法

设作用于刚体上的空间汇交力系为F1、F2、„、Fn，且各力作用线均汇交于一点O(图2-7(a))。O点为汇交点。按力的可传性原理，施加于刚体上的汇交力系中各力作用点均可沿各自作用线移至汇交点O。凡力系中诸力具有共同作用点的力系称为共点力系(图2-7(b))。

图2-7 按平行四边形原理，力F2、力F3可合成为合力R′；再由R′和F1合成为R″；依次类推，两两合成下去，最后求得图2-7(c)所示的共点力系的合力R，这也是图2-7(a)所示汇交力系的合力。由此可见，汇交力系可以合成为一作用线通过汇交点的合力，它为各分力的矢量和，5 即

图2-8 2.解析法

一般空间汇交力系可合成为一作用线通过汇交点的合力，其合力矢量表示式为

因

合力R的投影分量为

这就是说，合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这个结论称为合力投影定理。合力R的大小和方向余弦为

若汇交力系为平面汇交力系，可选取力所在平面为O-xy平面，则(2-12)式简化为

三、汇交力系的平衡条件

力系的平衡条件是指刚体在某力系作用下保持平衡时力系中各力应满足的条件。前已指出，任一空间汇交力系总可以合成为一个合力，因此，空间汇交力系平衡的充要条件是力系的合力等于零。即汇交力系的平衡条件既可用几何法表示，也可用解析法表示：

1.汇交力系平衡的几何条件

空间汇交力系的合力是以力系各分力为边所构成的力的多边形的封闭边。若该力系合力为零，则表明力的多边形的封闭边R=0。换言之，力的多边形中最后一个分力的矢端与第一个分力的矢尾O点相重合，力的多边形自行封闭(图2-10)，这就是汇交力系平衡的几何条件。

图2-10 2.汇交力系平衡的解析条件 由汇交力系合力公式

R=

可知，当汇交力系平衡时其合力必然为零，即R=0，那么，合力公式中根号内三个平方项应分别为零，即有

它表明，汇交力系平衡的解析条件为：汇交力系各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。方程(2-15)称为空间汇交力系的平衡方程。它建立了平衡时各力之间的相互关系。三个方程彼此独立，故可求解三个未知量。

若汇交力系为平衡汇交力系，可选取力所在平面为O-xy平面，则汇交力系的平衡条件简化为

这就是说，平面汇交力系平衡的充要条件是：各力在两个坐标轴上的投影代数和分别为零。

小结:在这一节中我们学习了力的汇交系统,并且能够利用汇交中的平衡方程来求解我们要求解的力的大小及方向.作业布置: 习题与思考题导课:在前一节中我们学习了汇交力系,那是力的一种求解方法,但是在实际应用中力的求解方法一种是解决不了全部现实问题,从而我们要继续学习力的另一种求解方法-------力矩

§2-2 力矩

一、平面问题中力对点的矩

当一力作用于物体上时，可产生两种效应：一是力的作用线通过物体的质心使物体产生平动效应；二是力的作用线不通过物体的质心而使物体绕某一点转动，产生角加速度，同时又使物体平动，产生平动加速度(图2-15)。物体在力的作用下产生平动效应，物理学中已作阐述。这里只研究力对物体作用而使物体产生的转动效应。

图2-15 通常把O点称为矩心，把h称为力臂，把力的大小与力臂的乘积称为力对矩心的矩，简称力矩，用它来衡量力F使物体绕矩心转动的效应。力矩用符号mO(F)表示。

人为约定：使物体产生逆时针转动(或转动趋势)的力矩为正(图2-17(a))；使物体产生顺时针转动(或转动趋势)的力矩为负(图2-17(b))。在平面问题中力对点的矩可表示为

图2-17

图2-16

二、力对点的矩矢 1.力对点的矩矢

在涉及空间力使物体绕某点产生转动效应时，必须考虑下述三个因素：

(1)转动效应的强度。它与力的大小和力臂的乘积成正比。

(2)转动轴线的方位。即力F的作用线与矩心O点所决定的平面的法线方位。

(3)转向。即使物体绕轴线转动的方向。

以上三个决定力使物体绕某点转动效应的因素，在数学上可用一特殊矢量来表示。这个矢量的模等于力的大小F和力臂h的乘积；该矢量的方位(即转动轴线在空间的方位)，其指向由右手螺旋法则确定(图2-19)。这个矢量称为力对点的矩矢，用符号mO(F)表示。由图可知，它是一个通过矩心O的定位矢量，是力对物体产生转动效应的度 量。

图2-19

图2-20 2.力对点之矩矢的矢积表达式 r和F的矢积的模为

3.力对点之矩矢的解析表达式

设选定直角坐标系O-xyz，i、j、k分别为三对应轴的单位矢量。F和r分别可写为代入(2-18)式得

这就是力对点之矩矢的解析表达式。很显然有

三、合力矩定理

设一力系F1，F2，„，Fn可合成为一合力R，则合力对物体作用时产生的效应与各分力对物体同时作用时所发生的效应完全相同。于是，合力R对点的矩矢可写为

这就是合力矩定理，其物理意义是合力对任一点之矩矢，等于各分力对同一点之矩矢的矢量和。若力系为平面力系，各力对平面上任一点的矩为代数量，故合力矩定理在平面问题中表述为它表明：平面力系的合力对平面上任一点的矩，等于各分力对同一点的矩的代数和。

小结:在这一节中让学生理解力矩的概念和力矩的表示方法以及力矩在求解时的平衡方程.作业布置:习题与思考题

导课:在学习了力系和力矩之后我们已经了解了力在实际中的两种表示方法,现在我们在力矩的基础上我们继续进一步了解力偶系的表示方法和计算状况.§2-3 力 偶 系

一、力偶的概念 1.力偶的概念

把一对等值反向、作用线平行而不重合的力称为力偶，记作(F，F′)。两力作用线间的距离d称为力偶臂。力偶所在平面称为力偶作用面(图2-24)。

图2-23

图2-24

图2-25 2.力偶矩

设一力偶(F，F′)，其力偶臂为d(图2-25)，力偶对力偶作用面上任一点O的矩，应为平行力F，F′对点O的矩的代数和，即

由此可知，两个力矩相加的结果与两力矩的矩心位置无关，即力偶中两力对力偶作用面上任一点之矩的代数和为一常量，它等于力偶中任一力F的大小F和 16 力偶臂d的乘积。此乘积称为力偶矩，记作m(F，F′)，简记为m。于是

式中正负号反映力偶的转向，逆时针转向取正，顺时针转向取负。力偶矩的量纲与力矩相同，其单位也相同。

二、力偶的基本性质

1.力偶不能与一个力等效(即力偶无合力)，也不能与一个力平衡。

2.在同一平面内的两个力偶，若其力偶矩相等，则这两力偶彼此等效。

图2-26 力偶这一基本特性给出了在同一平面内力偶等效 17 的条件，故这一性质称为力偶的等效性或称为力偶的等效定理。由它可得如下推论：

推论一

任一力偶可以在它的作用面内任意转移，而不改变力偶对刚体的作用。力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。

推论二

只要保持力偶矩的大小和转向不变，可同时改变力偶中的力的大小及力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。

三、平面力偶系的合成和平衡条件 1.平面力偶系的合成作用于物体上的若干力偶若同在一平面内，则称为平面力偶系。

设有三力偶(F1，F1’)、(F2，F2’)、(F3，F3’)作用于同一平面内，它们的力偶臂分别为d1、d2、d3(图2-28(a))。根据力偶的等效性，可以把这三个力偶化成为具有相同力偶臂的三个力偶，于是

图2-28 由图2-28(b)可知：

因P1，P2，P3三力的作用线重合，均通过A点与AB垂直，该三力可合成为一个合力R，其大小等于三力大小的代数和，即

在B点共线的三力的合力R′的大小为

可见，合力R和R′构成一等值、反向、平行且不共线的合力偶(R，R′)(如图2-28(c)所示)，其合力偶矩为显而易见，上述结论可推广至由n个力偶构成的平面力偶系，其合成后的合力偶矩为

这就是说，平面力偶系合成的结果仍为一力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。这个结果称之为平面力偶系的合成定理。2.平面力偶系的平衡条件

力偶系的平衡是指合力偶的力偶矩等于零。由(2-23)式推知：平面力偶系的平衡的充要条件是所有各分力偶矩的代数和为零，即

上式称为平面力偶系的平衡方程。

解决基本力系平衡问题的途径(1)选定研究对象。(2)绘制受力图。(3)应用平衡条件。

小结:在这一章中我们学习了力的一系列的表示方法和计算平衡方程,以及力矩和力偶的表示方法及平衡方程.从 20 而我们要进步掌握力的实际应用中的求解.作业布置:习题与思考题

导课:在上一章中我们已经学习了力系,力矩,以及和力偶,知道了力系,力矩以及力偶的表达方式和计算方程,今天我们就进一步把这些已经学习的概念应用在一定的范围之中.第三章

平面一般力系

凡力系中诸力作用线在同一平面内且任意分布的力系，称为平面一般力系，简称平面力系。

§3-1平面任意力系的简化

一、力的平移定理

力的平移定理：施加于刚体上点A的力F可以平移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点B的矩。

图3-1 可以把作用于刚体上A点的力F平移到另一任意点B上，但必须同时附加一相应的力偶(图3-1(c))，这个力偶称为附加力偶。

由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于是得

二、平面一般力系向一点的简化

（一）、平面一般力系向一点的简化

在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的简化。

图3-2 经简化后的平面共点力系合成为一个合力R′，该合力作用点在简化中心上；把简化后的附加力偶系m1，m2，…，mn合成得一力偶MO(图3-2(c))。自然，依据力的平移定理，可将力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))，这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合力。1.R′和主矢

从图3-2可知，R′是图示共点力系的合力。R′的大小和方向可由平面共点力系合成的几何法或解析法获得。

运用几何法：由于简化后的共点力系中诸力与原力系中诸力等值同向，即，故可直接用原力系中诸力作出力的多边形，力的多边形之封闭边称为原力的主矢，即

这表明平面共点力系的合力R′等于原力系(F1，F2，…，Fn)中诸分力的矢量和，亦即原力系的主矢。而合力R′的作用线则通过简化中心。

运用解析法：在力系所在平面上取坐标系O-xy(图3-3(a))，应用合力投影定理，则由(3-2)式得

故主矢R′的模为

主矢R′的方向从图3-3(b)中可知

图3-3 2.对点O的主矩

从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶系的合成定理可知，按力的平移定理，力向一点简化后所产生的附加力偶的矩，等于力对简化中心的矩，故合力偶矩可表示为

平面一般力系向作用面内任意一点的简化，一般可得一力和一力偶。该力的作用线通过简化中心，其力矢量R′称为原力系的主矢，它等于原力系诸力之矢量和；该力偶作用于原作用平面上，其力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中诸力对简化中心之矩的代数和。

3.固定端(或插入端)约束的分析

图3-4(a)和(b)所示车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘上，是固定不动的。这类约束称为固定端约束或插入端约束。其简图如图3-4(c)所示。

图3-4 固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用有一群约束反力。在平面问题中，这些反力构成一平面一般力系(图3-5(a))。若将这群力向作用面内A点简化，则得一力和一力偶。一般情况下，简化后所得之力的大小和方向均为未知量，但该力可用两分力Nx，Ny来代替。因此，平面一般力系在固定端A处的约束反作用可简化为两约束反力Nx，Ny和一个力偶矩为mA的约束反力偶(图3-5(c))。

图3-5(二)、平面一般力系向一点简化结果分析 1.平面一般力系向一点的简化结果

平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现四种情况：

(1)R′=0，MO=0 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交力系和平面力偶系均为平衡力系，因而平面一般力系必也是平衡力系。

(2)R′=0，MO≠0 主矢等于零而主矩不等于零。它表明原力系与一平面 26 力偶系等效。此时，作用于简化中心O点的力

相互平衡，从而相互抵消。但附加力偶系并不平衡，它可合成为一力偶，即原力系的合力偶，其合力偶矩等于原力系对简化中心点O的矩，即

按力偶的性质，力偶对于作用平面上任一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心无关。但在一般情况下，力系简化后的主矩与简化中心有关。(3)R′≠0，MO=0 主矢不等于零而主矩等于零。它表明原力系与一个作用线通过简化中心的合力等效。该合力的大小和方向由主矢R′确定。(4)R′≠0，MO≠0 主矢、主矩都不为零。它表明力系向O点简化后得到一力和一力偶。按力的平移定理，这一力和一力偶还可合成为一个合力。

2.平面一般力系简化为一个合力的情况

设将力偶矩为MO的力偶(图3-6(a))用两个力R和R″来表示，并令R′=R=-R″(图3-6(b))，R′和R″构成一平衡力系，于是有等效关系如下：

这就是说，可将作用于O点的力R′和力偶(R，R″)合成为一个作用于O′点的力R(图3-6(c))。显然，力R就是原力系F1，F2，…，Fn的矢量和，力R的作用线距简化中心O点的位置(即力的作用线离O点的距离d)由下式确定

图3-6 至于力R作用点在原简化中心O点的哪侧，则取决于主矢R′的方向和主矩MO的转向。若力偶转向为逆时针(MO>0)时，则力R的作用点位于从O点沿主矢R′箭头方向的右侧；反之，则R的作用点位于从O点沿主矢R′箭头方向的左侧。

小结：在这一节中让学生了解力系在平面中简化方法，进一步认识力系在平面中的表示方法。从而更深刻的理解力系的概念。

作业布置：习题与思考题

导课：在上一节中学习了力系的简化原理，在简化之后我们就要进一步学习计算所要的力，那么今天我们就学习力系的一般平衡方程。

§3-2 平面一般力系的平衡方程及其应用

一、平面一般力系的平衡方程

二、平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是平面一般力系的特例。力系中诸力彼此平行，如图3-10所示。设若一物体受一平面平行力系的作用。选O-xy系中y轴与各力平行，则不论力系是否平衡，各力在x轴上的投影恒等于零，即∑X≡0。于是平面平行力系的平衡方程是

使用(3-13)式时，必须使A、B两点的连线不与各力平行。

三、平面一般力系平衡方程的应用

例3-4 图3-11所示为悬臂式起重机。梁AB的A端以铰链固定，B端用拉杆BC拉住。梁自重P=4 kN，载荷重Q=10 kN。梁的尺寸如图示。试求拉杆BC所受的拉力和铰链A处的约束反力。

解：选取梁AB和载荷体一起为研究对象。除作用于梁AB上的已知力P，Q外，还受拉杆拉力T和铰链A处的约束反力N的作用。因拉杆BC为二力杆，拉力T必沿BC连线；又因N方向未知，但总可作正交分解，得Nx，Ny。力N，T，P，Q可近似地认为分布于同一平面内，故由它们构成的力系可视为平面一般力系。

图3-10

图3-11 因梁处于平衡，该力系必满足平面一般力系的平衡方程，由(3-9)式得

由(3)式得

(4)式代入(1)得(4)式代入(2)得

四、物体系的平衡

前面已研究过各种平面力系的平衡问题，但都是针对单个刚体而言的，而在工程实际中，诸如组合构架、三铰拱等都是由若干物体构成的平衡体系。这些由许多物体构成的系统称为物体系。研究物体系平衡问题较之研究单个物体要复杂得多。它不仅要求出物体系所受的所有未知外力，而且在绝大多数情况下还要求出物体系内部各物体之间的相互作用内力。为此，研究时则要求把某些物体单独隔离开来。即使问题不要求求出内力，对于某些物体系的平衡问题，有时也需要将物体分开处理，方能求出作用于物体系上的未知外力。

对于一处于平衡的物体系，允许将一些物体单独隔离来处理的依据是：当物体系处于平衡时，组成物体系的每一物体或物体系中若干物体构成的局部均处于平衡状态

五、超静定问题的概念

当物体系处于平衡时，组成物体系的每一个物体均处于平衡状态。对每一物体，如在平面一般力系作

用下平衡，最多只能写出3个独立的平衡方程。如物体系由n个物体组成，也最多只能写出3n个独立平衡方程。对每一种力系强调它的独立平衡方程数，在解题时十分重要。当未知待求量数少于或等于独立平衡方程数时，只需运用刚体静力学的平衡条件，就可解出全部的未知待求量。这样的问题称为静定问题。反之，如未知待求量的数目多于作用力系可能有的独立平衡方程数，则仅用刚体静力学的平衡条件就不可能求出全部待求未知量。对这一类的问题统称为静不定问题或超静定问题。

小结：在这一节中我们学习了力系的平衡方程应用，以及物系平衡和系统的静定与超静定问题。让学生理解物系的求解重点，解决遇到的难题。

作业布置：习题与思考题

导课：在上一节中我们已经学习了平衡力系，物系平衡，静定与超静定，并且理解了物系的应用状况，下面我们学习解决平面一般力系作用下单个刚体或物体系的平衡问题的途径。

§3-3 解决平面一般力系作用下单个刚体或物体系的平衡问题的途径

对平面一般力系作用下处于平衡的单个刚体或由若干刚体构成的物体系，能否用静力学平衡方程求解，则取决于单个刚体或物体系是否静定。对单个刚体而言，若未知量数少于或等于独立平衡方程数，单个刚体是静定的；对于物体系而言，是否静定则取决于物体系中刚体的数目与约束的情况。求解平衡问题时，一般应判别问题是否静定，因在刚体静力学中只处理静定问题，静不定或超静定问题属于材料力学讨论的范畴。

物体系的平衡问题是静力学理论的综合应用，它的求解是以单个刚体平衡问题求解为基础的。在§3-3节中讨论平面一般力系平衡方程应用时，实际上是针对单个刚体的平衡问题的。求解单个刚体平衡问题的34 步骤为：(1)正确选择研究对象；(2)解除约束作受力分析，绘制受力图；(3)根据力系的类别选用平衡方程。鉴于求解物体系的平衡问题是以单个刚体平衡问题为基础，故求解物体系平衡问题，只需注意物体系平衡问题的特点，仍采用求解单个刚体的平衡问题的基本步骤。物体系平衡问题的特点就是从物体系中选取若干研究对象。研究对象的选择视问题性质而定，要选择适当、要合理排列出所取研究对象的顺序，以利于求解简捷。

小结：在这一节中让学生学会解决平面一般力系作用下单个刚体或物体系的平衡问题的途径

作业布置：习题与思考题

导课：在上面我们已经学习了力的各种方式的计算状况，我们没有考虑摩擦之后的状况，现在我们进一步加上摩擦之后来看看物系的状况。

§3-4

有摩擦的平衡问题

一、滑动摩擦

任何物体的表面都不会是完全光滑的，其表面凹凸不

平，加之接触面材料分子的凝聚作用，当两物体沿接触面有相对滑动趋势或相对滑动时，两物体在接触面处将会出现一定的阻力，以阻碍其滑动。这种现象称为滑动摩擦现象，而阻碍该两物体间相对滑动的阻力称为滑动摩擦阻力，简称摩擦力。

摩擦按其接触表面的性质可分为干摩擦和湿摩擦。干摩擦系固体与固体表面之间出现的摩擦现象；湿摩擦系流体与流体或流体与固体之间出现的摩擦现象。摩擦按其接触物体间的运动方式可分为滑动摩擦和滚动摩擦。

（一）、静滑动摩擦力

当物体接触表面间有相对滑动趋势但仍保持相对静止时，沿接触点公切面产生的切向阻力，物为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，记作F。

它是反映最大静摩擦力规律的静滑动摩擦定律，又称库仑摩擦定律。其物理意义为：静摩擦力的最大值与两物体接触点处公切面的法向反力(或物体间的正压力)的大小成正比。式中f为静摩擦系数，它决定于接触物质和表面的性质(表面的硬度、表面加工的粗细程度、湿度、温度以及

污染的程度)。

（二）、动滑动摩擦力

两物体的接触表面已有相对滑动时，沿接触表面产生的切向阻力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。 实践和实验结果表明动摩擦现象的基本规律是动摩擦力的方向沿接触面的切向，与相对滑动的方向相反，其大小与接触面的法向压力值成正比，即

式中f′为一无量纲的正数，称为动摩擦系数。

（三）、摩擦角和自锁现象

1.摩擦角

摩擦角是讨论有关摩擦问题的一个重要概念。在涉及摩擦的问题中，支承面给物体的约束反力是法向反力N和切向反力即摩擦力F的合力R(图5-1(a))，即

R=N+F 则R被称为接触面给物体的约束全反力。约束全反力的方向与接触面法线之间的夹角为，则

当物体处于静止的临界状态时，摩擦力F达到最大值Fmax，此时，接触面给物体的约束全反力R为

R=N+Fmax R与N之间的夹角

达到最大值

m，称

m为摩擦角(图5-1(b))。因

Fmax=fN

由(5-3)式可知

即摩擦角的正切等于静摩擦系数。偏离接触面公法线的最大角度。就给定。2.自锁现象

当作用于物体上的所有主动力的合力Q作用线在摩擦

m之内时，无论合力Q多大，物体必保持其静止平衡状态(图5-3(a))。这类现象称之为自锁现象。由于发生自锁现象时，α角只能小于或等于

这个条件，称之为自锁条件。

（四）、考虑摩擦时的平衡问题

求解考虑摩擦时物体的平衡问题与求解不计摩擦时物体的平衡问题，其基本方法相同。不同之处是分析物体受力状态时，必须考虑摩擦力。静摩擦力F在求解中往往

m系约束全反力Rm给定，摩擦系数也

m角，因此，都是待求量，它始终满足关系式

F≢fN 当F=Fmax时，物体处于静止而又濒临运动的临界状态； 当F＜Fmax时，表明主动力在一定范围内变动，物体仍保持静止状态。这种变动范围称为平衡范围。

可见，有摩擦的平衡问题不外乎是求解非临界状态的静平衡问题、静平衡处于临界状态的平衡问题和平衡范围问题。

小结：在这一章中我们要学习

（1）力系简化的主要依据是力的平移定理（2）平面力系向一点简化的结果（3）平面任意力系的平衡方程的三种形式（4）平面特殊力系的平衡方程（5）求解物系平衡问题的注意点

（6）求解考虑摩擦时的平衡问题，可将滑动摩擦力作为未知约束力对待。作业布置：习题与思考题

导课：在上面一章中我们已经学习了平面力系的一切平衡方程，下面我们进一步深入学习力系在空间的应用状况。进一步学习空间状况的力系解决问题。

第四章

空间一般力系

重心

在空间任意分布的力所构成的力系称为空间一般力系，简称空间力系。

§4.1

力矩关系定理

一、空间力对轴的矩 1.空间力对轴的矩的定义

空间力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，为一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该转轴的平面上的投影Fxy对于这平面与该轴的交点之矩。

2.空间力对轴之矩的解析式 设若考虑力对z轴的矩，则有

二、力矩关系定理

空间力F对点之矩矢在直角坐标系O-xyz三坐标轴上投影的解析式

将上面所讨论的力对轴之矩的解析式(4-2)，(4-3)和(4-4)三式与(4-5)式比较得

即：力对点之矩在通过该点的坐标轴上的投影，等于力对该轴之矩。这就是力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系。这个关系称为力矩关系定理。若力对通过点O的直角坐标轴x，y，z之矩为已知时，则可求出该力对点O之矩的大小和方向，即

式中α，β，γ分别为对点之矩矢mO（F）与x轴、y轴、z轴之间的夹角。

应明确：由于坐标原点和坐标轴的选择是任意的，因此，力矩关系定理可另表述为：力对已知点A之矩矢在通过此点之任意轴AB上的投影等于力对该轴的矩。设uAB表示沿AB轴向的单位矢量。按上述表述，则可表示为下述数学表达式，即

式中mA(F)·uAB表示矢量mA(F)在AB轴上的投影。

§4-2

空间一般力系的平衡方程及其应用

一、空间一般力系的简化

若对空间汇交力系和空间附加力偶系的力偶矩分别运用力的多边形法和合力偶矩定理求和，可得一单力R′和一力偶矩MO，其矢量表达式为

图4-5

力R′称为原力系的主矢，MO称为原力系对O点的主矩，O点称为力系的简化中心。

R′和MO在实际计算中，多采用解析式。设过简化中心O作一直角坐标系，它们在三个直角坐标轴上的投影分别为

将(4-14)式与力矩关系定理(4-6)，(4-7)，(4-8)比较，则有关系式

二、空间一般力系的平衡方程

由(4-11)和(4-12)式可知，空间一般力系向简化中心O点简化后，其主矢、主矩均为零，这表明该空间一般力系处于平衡。故

为空间一般力系平衡的充要条件。 空间一般力系的平衡条件的解析式为

方程组(4-17)和(4-18)称之为空间一般力系的平衡方程。其物理意义为空间一般力系平衡的充要条件是力系中诸力在直角坐标系各轴上的投影之和为零，对各轴之矩的代数 45 和也为零。

对于平面一般力系，若力系作用平面为O-xy平面，显然，力在Oz轴上的投影都为零，力系中诸力对Ox轴、Oy轴之矩也都为零。无论平面力系平衡与否，均有方程∑Z≡0，∑mx(F)≡0以及∑my(F)≡0。于是由(4-17)，(4-18)两式可知，对于平面一般力系的有效平衡方程为

对于平面平行力系，若令O-xyz系中Oz轴平 行于该力系的诸力，则该力系中诸力对Ox轴和Oy轴上的投影以及诸力对Oz轴之矩均为零，则无论力系平衡与否，都有∑X≡0，∑Y≡0以及∑mz(F)≡0。于是，由方程(4-17)，(4-18)可知，对于空间平行力系的有效平衡方程为

三、空间一般力系平衡方程的应用举例

例4-3

一起重机正在起吊一质量为2 t的重物(图

4-6(a))，A处为球形铰链。求当重物在图示位置时A处约束反力及缆风绳BD，BE中的拉力。不计桅杆AB、吊杆AC以及钢丝绳的自重。尺寸如图所示，单位为m。

解：选择起重机ABC机架为研究对象，解除约束，作受力分析，其受力图如图4-6(b)。球形铰链A的约束反力的方向不定，但可用NAx，NAy，NAz三个分力表示，其指向如图所示。当重物处于平衡时，钢丝绳所受之张力T的大小为

T=2×9.81 kN=19.62 kN 现选坐标轴如图所示。此时，z轴将与5个未知力相交，而x轴、y轴则各与3个未知力相交。从图可知∠BAC=60°，且缆风绳长为

按力的可传性，可将拉力T1，T2沿其作用线

分别移至D点和E点。列平衡方程有

先由(4)式、(5)式解 T1=8.06 kN，T2=23.2 kN 将它们分别代入(1)式、(2)式、(3)式，则得

§4-3

重

心

寻求物体的重心，实质上是寻找平行力系的合力作用点的问题。

一、平行力系中心

图4-9

凡具有合力的平行力系中各力，当绕其作用点均按相同方向任意转过相同角度时，合力作用线始终通过某一确定点。这个确定点就称为该平行力系的中心。简称平行力系中心。

二、重心的位置坐标公式

图4-10

设物体的重心在C点，其坐标为(xC，yC，zC)。根据合力矩定理mO(R)=∑mO(F)，其矢量投影式有

重心C的位置坐标公式为

设若将物体无限细分，即小微体的数目n→∞，而微体体积ΔVi→0，则按微积分理论，对(4-25)取极限，则可精确确定物体重心C的位置坐标，有

三、匀质物体的重心 1.体积的形心

设若物体为匀质物体，则被分割的各微体所受重力为pi=γΔVi，代入(4-26)式中去，得