降次——解一元二次方程的教案.[推荐]_一元二次方程教案免费

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22.2降次——解一元二次方程（教师用）

一、教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

二、教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

三、重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

四、教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ C Q A 老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：

x2=8 根据平方根的意义，得x=±

即x1

x2=

可以验证，PBwww.daodoc.comp2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2 所以

PBQ的面积等于8cm2．

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±

即

方程的两根为t1

例题示范一：

变式1：解方程x-25=0 变式2：解方程4x-100=0 变式3：解方程4x-7=0 变式4：解方程(2x-1)2-25=0 总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。

（2）直接开平方降次后，右边的非负数开平方时必须取正负两个平方根，解出两个一元二次方程后，得到一元二次方程的两个根。

拓展：解方程(2x-1)2=(3-x)2 分析：可以将（3-x）当作一个整体或一个数来处理。【活动二】跟踪训练：

课本P31练习（1）～（6）

【活动三】由以上学习可知：如果一个一元二次方程不是直接开平方的两种形式之一，也可以设法转化为两种形式之一，再运用直接开平方法求出方程的解。问题：要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽各是多少？

设场地宽为xm,长为（x+6）m，根据相等关系：长³宽=16 可得方程：x(x+6)=16 2化为一般形式为：x+6x-16=0，能否将该方程也化为(mx+n)=p的形式呢？ 2222211，t2

=-22 移项，得：x+6x=16 两边同时加上9，得：x+6x+9=16+9（这样左边就化成了一个完全平方式，右边是一个非负数）变形为：(x+3)=25 两边直接开平方，得：x+3=±5 x=-3±5 222 ∴x1=2,x2=-8 可以验证x=-8不符合题意，所以场地的宽为2m，长为8m.概括以上解题步骤：

（1）移项：将常数项移到右边

（2）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方

（3）写成直接开平方的形式（简称配方）（4）直接开平方，化成两个一元一次方程（5）求出两个一元一次方程的解（6）写出答案 例题示范二：

变式1：解方程：2x+12x-32=0 分析：这个方程与上述方程相比，系数都是刚才的2倍，所以必须先将方程两边同除以2，将系数化简后的步骤与上同。变式2：解方程：2x+12x-31=0 分析：与上题类似，同样要按照移项、将二次项系数化为

1、配方、降次为两个一元一次方程、解两个方程、写答案。变式3：2x-31=-12x 分析：首先要将二次项、一次项移到方程的一边，常数项移到另一边，再按几个步骤进行计算。变式4：3x-6x+4=0 【活动四】跟踪训练 课本P34练习1、2.五、课堂总结：

在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：

在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。

因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。

六、课后作业

P31.练习 P34.练习

七、课后思考

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半． 2222 A

P CQ www.daodoc.com 分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：111（8-x）（6-x）=³³8³6 222 整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．