高二数学椭圆人教版教学教案_高二数学椭圆教案

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高二数学椭圆

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

椭圆

教学目标：

1.掌握椭圆的定义。（第一定义和第二定义）。2.能根据条件熟练求出椭圆的标准方程；

3.掌握椭圆的几何性质及标准方程中的a、b、c、e的几何意义，及a、b、c、e间的相互关系；

4.能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数的取值范围；

5.理解直线与椭圆的位置关系，会求椭圆截直线所得的弦长，会应用弦中点的性质求解问题。

能力训练：进一步巩固求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自觉性及解决几何问题的能力；进一步培养数形结合的能力；同时提高代数运算能力、综合分析问题解决问题的能力。

二.重点、难点：

重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质的应用。

难点：椭圆的定义、标准方程、几何性质在解题过程中的灵活运用。

【典型例题】

一.知识提要：

1.椭圆的第一定义：平面内，与两个定点F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。2.椭圆的第二定义：

a2的距离的平面内，动点M与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：xcc比是常数(ac0)的点M的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭

ac圆的准线，常数叫椭圆的离心率。

a 3.椭圆的标准方程及几何性质： 标准方程 x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形 范围 对称性 顶点 axa，byb bxb，aya 关于x轴、y轴、坐标原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 A1（－a，0），A2（a，0）B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a）B1（－b，0），B2（b，0）离心率 ce，(0e1)ae c，(0e1)a

例1.求焦点在坐标轴上，且经过A(3，2)和B(23，1)两点的椭圆 的标准方程。

分析：求椭圆的标准方程，就是求中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程。但焦点

22在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx+ny=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程即知。解：设所求椭圆的方程为mx+ny=1，（m>0，n>0）

∵点A(3，2)和点B(23，1)在椭圆上，223m4n1m(3)n(2)1即 ∴

2212mn1m(23)n²111m15 ∴

n15x2y21。

故所求椭圆的方程为155 例2.x2y2已知椭圆221(ab0)，F1，F2是它的焦点。AB是过F1的直线

ab与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长。

解析：数形结合，由椭圆定义即可求得答案。

解：∵|AF1||AF2|2a

|BF1||BF2|2a

又∵△ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a ∴△ABF2的周长为4a。

x2y21上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准

例3.设P为椭圆10036线的距离为（）A.6

B.8

C.10

D.15 解析：法一：应用椭圆的第二定义即可求出结果为15。

2a2，又知P到

法二：应用椭圆的几何意义，点P到两准线的距离之和为c左准线距离，作差即可求出点P到右准线距离。

例4.点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

分析：根据椭圆的第二定义可知，动点P的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，且知焦点为F1（－2，0）、F2（2，0），准线方程x=±8，离心率e1。2a28，∴a216，解：依椭圆第二定义知：c2，c ∴b2a2c216412。

x2y21。∴所求椭圆的方程为1612x2y21，轨迹为椭圆。

即点P的轨迹方程为：1612 例

5.22x2已知点P在圆C：x(y4)1上移动，点Q在椭圆y21上移动，4求|PQ|的最大值。

分析：做此题要数形结合，从图中可见，要求|PQ|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可，而椭圆上的点是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

设：椭圆上的一点Q（x，y），又C（0，4）。

222 则|QC|=x+(y－4)

4(1y2)(y4)

23y28y20

4276) 33 又∵1y1∴当y1时，|QC|大5 3(y ∴|PQ|的最大值为5+1=6。

x2y21内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆

例6.已知椭圆43上求一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，求点M的坐标。

分析：|MF|是椭圆上一点到焦点的距离，根据椭圆的第二定义，有

|MF|1∴|MM|2|MF|

|MM|2 ∴|MP|2|MF||MP||MM|

显然，P、M、M'三点共线时，|PM|+|MM'|有最小值。

解：过P作PM'⊥l交椭圆于M，由椭圆方程知 a2，b3，c1，ey1 223x4y12 ∴所求M点坐标为M(例7.226x解得3

y126，1)。3x2y2过椭圆1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所

164在的直线方程。

分析：所求直线过定点M（2，1），因此，设为y－1=k(x－2)，再利用弦中点条件求出直线的斜率k。

解法一：设所求直线方程为y－1=k(x－2)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)ykx12k22①x4y160②(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160

消去y

8(2k2k)，又∵M为弦AB的中点，x1x224k1x1x24(2k2k)12∴k ∴ 2224k1 ∴所求直线方程为：x2y40。

解法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2。

又∵A、B两点在椭圆上，则x14y116①，x24y216②

①②x1x24(y1y2)0

(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 2222222y1y2xx2411

x1x24(y1y2)4³221 即kAB。故所求直线的方程为：x2y40 ∴ 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点B（4－x，2－y）。

∵点A、B都在椭圆上。

22x4y16 ∴22(4x)4(2y)16 ①②得x2y40。

①②

由于过A、B的直线只有一条，∴所求直线的方程为x2y40。

【模拟试题】

x2y21上一点，F1、F2是焦点，∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积。1.已知P是椭圆 2516

2.已知椭圆的焦点F1（0，－1），F2（0，1），直线y=4是它的一条准线，P是椭圆上一点，且|PF2|－|PF1|=1，求△F1PF2的面积。

3.椭圆xy1的焦点为F1，F2，点P为其上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横9422坐标的取值范围。

4.求与椭圆xy1相交于A、B两点，并且线段AB的中点M（1，1）的直线方程。94 22试题答案

1.解：设|PF1|m，|PF2|n

11mnsin30°mn。24 在△F1PF2中，62m2n22mncos30° ∴S△F1PF2 36(mn)22mn3mn(23)mn64

64。

2316416(23)

∴S△F1PF2²423 mn 即△F1PF2的面积为16(23)。

2.分析：可以由椭圆定义及已知条件求出|PF1|和|PF2|的长，再计算面积。

a24∴a2 解：∵c1c3|PF||PF1||PF2|412 

|PF||PF|1512|PF2|225943444 又∵|F1F2|2，∴cosP，∴sinP

53552²²2213513543 ∴S△F1PF2²²²sinP²²²

22222252 3.分析：先求出使∠F1PF2=90°的点P的横坐标，根据点P的运动观察出P点横坐标的取值范围。

∵a3，b2，∴c5 ∴S△F1PF2 S△F1PF21|F1F2|²|yP|2设|PF1|m|PF2|n

11|F1F2|²|y|5|y|S△F1PF2mn 22222 又∵mn20，(mn)2mn20∴mn8

4x2y2 ∴5y4y，代入1

94533即当x±时，∠F1PF290° 得x±5533x时，∠F1PF2为钝角。

∴当55 5.解：设A（x1，y1），B（x2，y2）

∵A、B都在椭圆上，x12y121①94 ∴ 22x2y21②49(xx2)(yy2)(x1x2)1(y1y2)0

①－② 194 ∵AB的中点M（1，1），∴x1x22，y1y22

y1y244，即为直线AB的斜率为。

9x1x294 ∴y1(x1)，即4x9y130∴所求直线方程为：4x9y130。∴