示范教案(1.2 指数函数及其性质 第2课时)_指数函数及性质教案

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第2课时

指数函数及其性质(2)导入新课

思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例

思路1 例1已知指数函数f(x)=a（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,π）, 11x所以f(3)=a3=π,即a=π3,f(x)=(π3)x.再把0,1,3分别代入,得 f(0)=π=1, f(1)=π=π, f(-3)=π-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则

xxxxy2－y1=a2－a1=a1（a2-x1－1）.因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因为a1＞0, 所以y2－y1＞0, 即y1

y2y1x101=

aax2x1=a

x2x1.因为a＞1,x2－x1＞0,所以a即y2y1x2x1＞1, >1,y1

若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？ 答案：12x＜a＜1.例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？

活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题： 1999年底

人口约为13亿;经过1年

人口约为13（1+1%）亿;经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)亿;经过3年

人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年

人口约为13(1+1%)x亿;经过20年

人口约为13(1+1%)20亿.解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则 y=13(1+1%)x, 当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)等形如y=ka(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思路2 例1求下列函数的定义域、值域：

12xx(1)y=0.4x1;(2)y=35x1;(3)y=2+1;(4)y=

x

2221xx.解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1, 即函数值域为{y|y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥15,所以所求函数定义域为{x|x≥

15}.由5x-1≥0得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y|y>1}.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y≠1,所以2x=y2y1.又x∈R,所以2x>0,y2y1>0.解之,得-2

x3≠（12)0=1.又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2

（1）求函数y=(122)x2x的单调区间,并证明.221x（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.12活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=（）x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.1x222x2()22y11解法一：设x1

1x212x122y1()2因为x10.当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-21,所以y2>y1,函数单调递增;当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0, 即y2y1

12对任意的1

12对任意的x1u2,又因为y=(所以y1

（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.证明：设x1,x2∈R,且x1

22x2122x11=

2(2(2x1x12xx2)1)(221).由于指数函数y=2在R上是增函数,且x10得21+1>0,22+1>0, 所以f(x1)-f(x2)

1.函数y=a（a＞1）的图象是（）|x|xxxx

图2-1-2-8 分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.答案：B 2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（）A.y=(13x)2-x

B.y=1-C.y=0.5-

1D.y=2x+1

2x分析：因为（2－x）∈R,所以y=（［0,+∞);y=2答案：A x213x）2－x∈（0,+∞）;y=1-4∈［0,1］;y=0.5-1∈

x+1∈［2,+∞).3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（）A.（0,1）

B.（x

12,1）

C.（－∞,0）

D.（0,+∞）

x

0分析：由题意得0＜2＜1,即0＜2＜2,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.答案：C 4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（）

A.AB

B.AB

C.A=B

D.A∩B= 分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.答案：A 5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③f(x1)f(x2)x1x2>0;④f(x1x22)

f(x1)f(x2)x1x2.当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.分析:因为f(x)=10,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=10x

x1x2=10x110x2=f(x1)·f(x2),所以①正确;因为f(x1·x2)=10xx≠10x10x=f(x1)+f(x2),②不正确;1212因为f(x)=10是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以xx

f(x1)f(x2)x1x2>0,所以③正确.因为函数f(x)=10图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9 答案：①③④ 另解：④

10∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴x1x2x1x2x1102x2>10x110x210∴

x1102x2>10x1x2, 即10102>102∴f(x1)f(x2)x1x2>f(x1x22).拓展提升

在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;(2)①y=(12x),②y=(12),③y=(x-

112)

x+1

.活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11 观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系: y=3的图象由y=3的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1x+1x的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.12观察图2-1-2-11可以看出,y=(y=(12),y=（x

12),y=（x-1

12)

x+1的图象间有如下关系:)x+1的图象由y=(12)的图象左移1个单位得到;

xy=(y=(1212)x-1的图象由y=(1212)的图象右移1个单位得到;)x+1的图象向右移动2个单位得到.x)x-1的图象由y=(你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课堂小结 思考

我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业

课本P59习题2.1 B组1、3、4.设计感想

本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0

(设计者：王建波)

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