微积分电子教案_微积分电子教案完整版

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第七章

第七章

无穷级数

§7.1 无穷级数的概念 7.2 无穷级数的基本性质

主要教学内容

(1)无穷级数的概念;(2)无穷级数的基本性质.教学目的及要求: 掌握级数的基本概念及基本性质，会利用定义判别数项级数的收敛情况.重点难点及解决措施: 重点: 利用定义和性质判别典型题型的敛散性.难点: 部分和的求解.解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、引入课题

1、在初等数学里，我们学过有限项的和

例如

1+2+3+4+5+….+100=100(1001)=5050

2234n2222...21(12)12n21

n以及特殊的无穷递缩等比数列的和 例如

11111...2

124812但当一般的1+2+3+4+5+6+…

2+4+8+16+…就不会了。

从今天开始我们就系统的介绍一些无穷项之和的理论。这就是第七章的内容-------无穷级数。什么是无穷级数呢？

二、新课设计

1．定义：设给定数列un： u1，u2，，un， 式子u1u2un

（1）

叫做无穷级数，简称为级数（1）式简记为un即：unu1u2un

n1n1

第七章

其中第n项un叫做级数的一般项或者通项。是求和号 例如：

1+2+3+4+5+6+…+n+…=

n

n1234n2222...2...2n

n1n1n121122132142...1n2...xn1nxxx...x...23n若一般项un是常数，则un是数项级数。

n1若一般项un是（与n有关的）函数，则un是函数项级数，前4节里我们讨论的一般都是数项级

n1数。2．说明

我们把一个级数的前n项的和sn称为第n次部分和，所有部分和构成数列sn：s1,s2,s3,sn,，若数列sn极限存在，即limsns，则称无穷级数un收敛，且收敛于s，nn1亦即无穷级数的和为s，记为s=un；否则称无穷级数发散，此时无穷级数的和不存在。要判断

n1一个级数有无和，亦即级数是收敛还是发散，其步骤为：

1）先求出级数un的前n项和Snu1u2unuk

n1k1n2）取极限limsn

n若极限存在且极限值为s，则级数un收敛，s为级数的和；

n1若极限不存在，则级数un发散。

n13．举例

例1 讨论几何级数（等比级数）

n1aqn1aaqaq2aq3...aqn1...(其中a≠0，q称为级数的公比。并规定q=0时，级数等于a.)的敛散性。解：当|q|≠1时，由于

第七章

nna1qaq23n1a snaaqaqaq...aq

1q1q1q 当|q|

1q，级数收敛。当|q|>1时，limsn，级数发散。

n当q=1时，snaaqaq2aq3...aqn1aaaa...ana

则limsn

n0当q=-1时，snaaqaq2aq3...aqn1aaaaa...n为偶数 1n为奇数 则limsn

n综上所述，当|q|

当|q|≥1时，级数发散。

a。1q今后我们可以直接使用结论。比如，5n13n16n2n14n都是收敛级数

而

n1en   都是发散级数

n15这章中，除了等比级数之外，还有调和级数

p –级数1是发散的 n1n1pn1n------p1时，级数收敛

p1时，级数发散这些结论要记住。例

2、判定级数例

3、判别级数

lnn11的敛散性。nn1n1n123n1lnln...ln...的敛散性 n12n22222......的敛散性。

2n12n11335572n12n1n14．练习：(1)判定级数1(2)判定级数n的敛散性。

2n〔由于211n1,2,...

所以 2n12n12n12n

1第七章

sn222211 1111...1...12n12n13352n12n11335572n11故limsnlim11，因此所给级数收敛，其和为1。nn2n1即

21

n12n12n15．级数的基本性质

性质

1、如果级数un和vn收敛，n1n1unS1,vnS2，则(unvn)也收敛，且其和

n1n1n1为S1S2.即

(unvn)unvnS1S2

n1n1n1性质

2、如果级数un收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数c后，所得n1到的级数cun也收敛，且其和为cS.即

n1

cun cuncS.n1n1性质

3、在一个级数的前面删去或添加有限项不影响级数的敛散性.性质

4、如果一个级数收敛，加括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。

注意：逆命题不一定成立 性质

5、如果un收敛，则limun0.n1n注意：这是级数收敛的必要条件，经常用来判别级数发散 6．举例

例

3、判别下列级数的敛散性 1）1+2+…+100+n1

22）nP

（p>0）n1n111n13）

4）n1n

nn1n16n5解：1）由于1n12n1是等比级数且公比q=1/2,则是收敛的由性质3知，原级数是收敛的。



2）limunlimnp

np发散

nnn

1第七章

1n(1)n11

3）由于n与n都是收敛的等比级数，由性质1知是收敛的nn156nn16n15

4）

snn1n nn11 limsnlimn11limnnnn11213243...即原级数发散。

三、小结

1、级数的收敛与发散定义。

2、收敛级数的基本性质

3、等比级数，调和级数，p-级数在不同情况下的收敛与发散情况。

四、作业：P309 1

第七章

§7.3 正项级数

主要教学内容

(1)正项级数的概念;(2)比较判别法；(3)比值判别法

教学目的及要求: 掌握正项级数的概念，会用比较判别法和比值判别法判定正项级数的敛散性

重点难点及解决措施: 重点: 两个判别法的应用 难点: 比较判别法

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、正项级数的概念

1、定义：如果数项级数unu1u2...un...满足条件un0（n=1,2,..），则此级数称为n1正项级数。

二、收敛性的判别

对于正项级数来说，其s1,s2,s3,sn,为单调增加的，如果它是有界的，则必有极限。为此我们有判别正项级数特别的方法。

正项级数的敛散性判别法 1）比较判别法：

2）如果两个正项级数unu1u2...un...（1）

n1vvvn1n12...vn...（2）

满足关系式unkvn（n=1,2…k>0的常数）

则，当级数（2）收敛时，级数（1）也收敛

当级数（1）发散时，级数（2）也发散

（俗话称大收小收，小发大发）证明见P28利用此判别法可证明调和级数、P－级数的敛散性。P282 注意：上面定理中，关系式中n从1开始，其实n从任意项m开始都可以。例

1、判别下列级数的敛散性

1[1] 

[2] n0n!

1[3] n1n1n41 n1ln(n1)

第七章

解：[1]111112(n2,3,...)n!123...n122...22n12n

而n112n是q=1/2的等比级数，收敛

故原级数收敛。

111 [2]2 而2是p=2的p-级数，收敛 n1n4nn1n

故原级数收敛

y[3]令yln(x1)x 1x1 x1x1

当x1时，y0

∴函数y 是减函数

故当n>0时，ln(n+1)-n

ln(n+1)

1而是调和级数，发散，因此原级数发散。n1n11

ln(n1)n对于比较判别法，我们还有个极限形式： 对于两个正项级数

unu1u2...un...n1v.n...vnv1v2..n1若limunk不等于0，则它们有相同的敛散性。

nvn2）达朗贝尔比值判别法：如果正项级数unu1u2...un...满足条件limun1l

n1nun则（1）当l1时，级数收敛

（2）当l1时，级数发散

（3）当l1时，此方法失效 例

2、判别下列级数的敛散性

5n2221232n11......[1] 

[2] [3]

335357357...2n1n1(n1)!n1n〔4〕P285例

4例5 11u解：[1]limn1limn!lim0∴级数收敛

1nunnnnn1!

第七章

5n155n5n1[2] limlimlim51

∴级数发散 n5nunn5nn1un1n52n[3] limun1nunlim35...2n12n135..2n12n1nlim201

∴级数收敛 2n1n

三、小结

1、正项级数的概念

2、正项级数的比较审敛法

3、正项级数的比值审敛法

4、正项级数的根值审敛法

四、作业 p3092、3、§7.4 任意项级数，绝对收敛

主要教学内容

(1)任意项级数、交错级数的概念；(2)交错级数的莱布尼兹定理；(3)绝对收敛，条件收敛

教学目的及要求: 掌握交错级数的莱布尼兹定理以及绝对收敛，条件收敛的概念

重点难点及解决措施: 重点:莱布尼兹定理

难点: 绝对收敛、条件收敛 解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、交错级数

1．交错级数的概念

第七章

交错级数的一般形式：n11n1uuuuun1234...u2k1u2k...关于交错级数敛散性有如下判别法.2．莱布尼兹定理：如果交错级数（1）满足条件

[1]unun1(n1,2,...)

[2]limun0

n则级数收敛，且和su1，余项Rn的绝对值Rnun1。

例

1、判别下列交错级数的敛散性 [1]1n1

n11n [2] n11n11n

n11n1n1n

111limunlim0且unnn解：[1]nnn1un1

原级数收敛[2]limunlimn1nn0且un1n1n1un1

由莱布尼兹定理知原级数收敛。

1[3] limunlimnnn1nlim1n1nnlimn0

n111n而unn1n1n1n1n1n2n1n2n2n1un1

n1n2故原级数收敛 注意：利用莱布尼兹收敛法不能解决所有交错级数的审敛法问题，莱布尼兹判别法只是充分条件，如果条件不满足，不能说级数发散，只能说不能判定其敛散性。

二、任意项级数的绝对收敛和条件收敛

1、绝对收敛和条件收敛的定义：如果级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，则称此级数绝对收敛，如果级数收敛，而由它的各项的绝对值组成的级数发散，则称此级数条件收敛

2、由P287的定理知，绝对收敛的级数一定收敛。

3、即不管是条件收敛还是绝对收敛级数都是收敛的。（为什么要引进绝对值，出现绝对收敛，条件收敛的问题呢？）为此我们有

定理、如果任意项级数unu1u2...un...满足条件

n1nunulimn1l

则当l1时，级数绝对收敛；当l1时，级数发散；当l1 时，级数的敛散性不能确定。证明见P289 例

4、判别下列级数的敛散性（如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛）

第七章

nsinn!5n5n1n1[1] 

[4](p1)

[2] 11n11nn1npn1nn1n5n1

1[5]

lnn1P289例〔6〕P290例4 例5 nsin解：[1]unnp511，而

npnp1是 p >1的p-级数，收敛 pnn1因此级数绝对收敛。[2] n1|1n1n!nn|n!nn

n1!(n1)n1u1limn1limlim1n!nunnnnnnne11

所以原级数绝对收敛。[3] |1n1n15nn5|5nn55n1

且

nun5 n15unlimn1limlim551n5nnn1n5故原级数发散 [4] 11 ||1n1lnn1lnn1n1 而lnn1lnn2un1limlimlimlimn111nunnnlnn2n1lnn1n21111但发散  且发散lnn1nn0nn0lnn1可1n1n11满足莱布尼兹定理收敛，因此原级数条件收敛。lnn1

三、小结

1、任意项级数和交错级数的概念

2、交错级数的莱布尼兹判别法

3、任意项级数的条件收敛与绝对收敛

四、作业：P310 4、5

§7.5 幂级数

第七章

主要教学内容

(1)幂级数的相关概念；(2)幂级数的收敛区间及和函数；(3)幂级数的性质

教学目的及要求: 掌握幂级数的相关概念，会求收敛半径及收敛区间

重点难点及解决措施: 重点:求收敛半径和收敛区间 难点:收敛区间的求解

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、幂级数

1、幂级数的相关概念

1）、定义：形如aaxxaxx0...axx0...（1）

2n0102n的级数称为xx0的幂级数，其中a0，a1，叫做幂级数的系数 我们规定当x=x0时，（1）总收敛于a0

(1)式可简记为anxx0n

n12）当x00时

（1）式变为anxna0a1xa2x2...anxn...（2）

n1

称为x的幂级数

3）由于做变换Xxx0

（1）式可以转化为（2）式的形式，所以今后我们主要研究的是形如（2）时的级数

4）分析幂级数收敛与数项级数收敛的关系

对于幂级数来说，我们仍然关注的是它的敛散性问题。即变量x在实数范围内取哪些值时，级数（2）是收敛的当x=0时，任何一个幂级数都收敛于

a0。

当x0时，给定一个x的值，幂级数成为一个数项级数。随着x取不同的值，幂级数就成为一族数项级数。为此，我们可以用前面介绍的判别定理来探讨幂级数的敛散性。

uu由定理6知，当limn11时级数绝对收敛，limn11时，级数发散

nunnun如果liman1nanuaxn1l则limn1limn1lx

nunnanxn

第七章

11R时，（2）发散

lllx1即xR，xR时，（2）可能收敛可能发散

l(2)绝对收敛，lx1即x当l0时，lx1即x R 时，当l0时，lx01，则级数（2）对任何x都收敛

从上面的讨论知，幂级数收敛的范围是实数轴上一个以原点为中心，从-R到R的区间，这个区间叫做幂级数的收敛区间，其中R=1/l叫做幂级数的收敛半径。在收敛区间以外，幂级数（2）发散。

在收敛区间上，对于每一个点，级数都收敛于一个确定的和s，对于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函数，称为和函数，记为s(x)。

2、求收敛半径、收敛区间的步骤

1）定理7 如果级数（2）的系数满足条件liman1nanl

则当0l时，R1/l，当l时，R0；当l0时，R 2)求收敛区间的步骤

首先求出收敛半径R，如果0R，再判断xR时级数(2)的敛散性，最后写出收敛区间。例

1、求下列级数的收敛区间

xnn1n

[1]

[3] x

[2] 1nn!2n1n1nxx22x33x44...xnn1n

n1n1111a解：[1]llimn1lim2lim1

则R=2

n2nannnn22n当x=2时，幂级数成为n

这是发散的n1当x=-2时，幂级数成为1n

也发散 nn1故级数的收敛区间为（-2，2）。

1nn1!lima[2] llimn1limnann1nn!10

则R=+∞ n1n收敛区间为（-∞，+∞）

1na则R=1 [3] llimn1limn1lim1nannnn1n

第七章

当x=1时，级数变为调和级数

n，发散。

n11(1)n当x=-1时，级数变为交错级数，收敛

nn1故原级数的收敛区间为1,1 例

2、[1]求级数 2n 的收敛半径

x2n0n!2n![2]求级数n0x1n4n的收敛区间

2n1!解；[1]分析：nlimun1unlimn1!n!122n1x2n2n!2nx24x2

1时，级数发散 21当4x21时，x2即x时级数收敛，当4x21即x故级数的收敛半径R=1/2 14[2]分析 令X=x+1则n0x1n4nXna limn1nann04nn11lim4

4n14nn所以R=4,当x=4时，级数变为

1发散；当x=-4时，级数变为1发散

n1n1Xn 的收敛区间为（-4，4）故，即-4

二、幂级数的性质

性质

1、anxnbnxnanbnxn

n0n0n0性质

2、如果幂级数f(x)续函数。

性质

3、在幂级数f(x)an0nxn的收敛半径为R0，则在收敛区间(R,R)内，它的和函数为s(x)是连an0n的收敛区间(R,R)内任意一点x，有 xn

第七章

x0f(x)dx(ant)dt0n0n0xnx0atnndtxn0n1nan1

即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是R。性质

4、在幂级数f(x)an0nxn的收敛区间(R,R)内任意一点x，有

/nf(x)anxn0n0an/n1nnxanx

n1即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是R。

nn1n例3 求幂级数x的收敛区间和和函数，并求级数的和。（见书P296）

n1n12n12n例

4、求幂级数的和函数并利用所得结果求级数 的值.nn1n1n3xnx解：令s(x)n1nn则s(x)(x)xn1nn1nn11xxx...=

x2

1x（|x|

01t12n22s()ln(1)ln3

33n1n3例5 求幂级数 f(x)xx33x55...(1)n1n1x2n12n1...的和函数，而 解：因f/(x)1xx...(1)24x2n2...x11x22x0f(t)dtf(x)f(0)，所以 f(x)f(0)dt1t00arctanxarctanx

它的收敛半径R＝1。可以验证，当x=1时，级数收敛，当x=-1时，级数也收敛，因此，所给级数的收敛域为［－１，１］

三、小结

1、幂级数的相关概念

2、幂级数收敛区间、和函数的求法

四、作业：P311 6

第七章

§7.6 泰勒公式与泰勒级数

主要教学内容

(1)泰勒公式与泰勒级数；(2)函数的幂级数展开

教学目的及要求: 理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间接法

重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数 难点: 函数的幂级数展开

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、泰勒级数

1、我们已经知道，函数

n1n1231xxx...(1)x...，那么一般的函数f(x)是否也可以展1x开成幂级数的形式呢？

即f(x)anxna0a1xa2x2...anxn...（1）

n1这里a0,a1,a2,...为待定系数。

如果能，那么系数怎么确定，按照一定方法确定出的系数决定的幂级数在其收敛区间上是否收敛于f(x)? 我们先看第一个问题

设f(x)具有任意阶的连续导数，故可对（1）两边逐次求一阶到n阶导数。令x0则有

f(0)a0，f(0)a1，f(0)2!a2，，f(n)(0)n!an

f(0)2f(n)(0)nxx 于是（1）式为 f(x)f(0)f(0)x2!n!n我们称级数f0xn为函数f(x)在x0的马克劳林级数。

n0n!关于马克劳林级数是否收敛于f(x)的问题，看书P320。

第七章

另外我们还可以证明，如果函数f(x)能够表达为x的幂级数anxn，则这个幂级数与f(x)的马克劳林级

n0数是一样的。

2、因此我们通常用马克劳林级数来将一个初等函数展开成幂级数。例1 将f(x)ex展开成幂级数。解：f(n)(x)ex，即 f(n)(0)1

n所以 f(x)ex的马克劳林级数为

f0xn1xn，收敛区间为(,)。

n!n0n!n03．两个重要函数的幂级数展式

(1)ex(2)n01xn，收敛区间为n!(,)；

1xn，收敛区间为(1,1)1xn04．一般函数的幂级数展式的间接法 例

2、（1）将函数fx2 展开成x的幂级数

x（2）将lnx展开成(x2)的幂级数 解：（1）xx2(n)xn xln2，f(x)2(ln2)，f(x)2(ln2)f2/

2即f(0)ln2，f(0)(ln2)，，f(n)(0)(ln2)n

则有n0fn(0)n!xnln2n0nn!xn

ln2n1a显然limn1limnann1!ln2nn!nlimln20其收敛半径R

nn1)即收敛区间为(，n12xln201

又因为对任何x，余项 Rnxxn1 n1!n1ln2n1n12xln2n1x0（级数收敛，一般项趋于0）因此级数

而limRnxlimx 2limxnnn1!nn1!n0ln2nn!xn在(，)内收敛于2

x

第七章

ln2nxxn 即2n0n!(今后可以省略判断收敛区间和余项趋于0的步骤)（2）令f(x)lnx，则f(x)112(n1)!，f(x)2，f(x)3，，f(n)(x)(1)n

1nxxxx112(n1)!(n)n1从而在x2处，f(2)2，f(2)4，f(2)23，，f(2)(1)nn11故fx0nn1!nnnnn0n!xx01n0n!nx21n0n2x2 2即lnx展成(x2)的幂级数为1n1n0n2nx2n

二、小结

1、泰勒公式与泰勒级数

2、函数用间接法展开成幂级数

三、作业：P312 7、8、9、10

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