高职微积分教案_微积分教案

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第一节

函数

引入

1．引例

例

1圆的面积与它的半径之间存在着相依关系，这种关系由公式

AR2(0R)

给定，当半径R在区间0,内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆面积A的相应数值。

例2 某物体以10m/s的速度作匀速直线运动，则该物体走过的路程S和时间t有如下关系：

S10t(0t)

对变量t和S，当t在0,内每取一定值t0，S就有唯一确定的值S010t0与之对应。

抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们都表达了两个变量之间的相依关系，这种相依关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质。

新授：

一、函数的概念

1.函数的定义

定义

1设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f，使得对于数集D中的任意一个数x，按照法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

yf(x)这里x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则，D叫做函数的定义域。

当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数yf(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)。当x取遍D中的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集

Wyyf(x),xD

称为函数的值域。

定义域D与对应法则f唯一确定函数yf(x)，故定义域与对应法则叫做函数的两要素。如果函数的两个要素相同，那么它们就是相同的函数，否则，就是不同的函数。

函数yf(x)的对应法则f也可以用,h,g,F等表示，相应的函数就记作x,hx,gx,Fx。

2．函数的定义域

通常求函数的定义域应注意以下几点：（1）当函数是多项式时，定义域为,（2）分式函数的分母不能为零

（3）偶次根式的被开方式必须大于等于零（4）对数函数的真数必须大于零

（5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为1,1

（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集。例3 判断下列函数是否是相同的函数

x

（2）yx 与 yx2 xx解（1）函数y1的定义域为(,)，而函数y的定义域为(,0)(0,)，x（1）y1 与 y故不是同一函数。

（2）两个函数的定义域与对应法则都相同，故是同一函数。例

4求下列函数的定义域(1)f(x)1

(2)f(x)x3ln(x2)25x2x(3)ylg(4x3)arcsin(2x1)解

(1)在分式12中，分母不能为零，所以5x2x0，解得25x2x222x且x0。即定义域为,∪,0∪0,。

555（2）该函数的定义域应为满足不等式组

x30 x20的x值的全体，解此不等式组，得x>2，即定义域为2,。

（3）该函数的定义域应为满足不等式组

4x30 12x11的x值的全体，解此不等式组，得3.分段函数

在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域内的不同范围内，用不同的解析式表示的情况，这样的函数称为分段函数。

例5 设符号函数 33x1，即定义域为,1。441,x0sgnxf(x)0,x0

1,x0求f(2),f(0),f(4)及函数的定义域、值域（如图1-1）。

解

因为20,,00,4,0，所以，f(2)1,f(0)0,f(4)1，f(x)的定义域为,，值域为1,0,1。

分段函数在整个定义域上是一个函数而不是几个函数。分段函数的图形在每个区间段

图1-1 上与相应解析式函数的图形相同；求分段函数的数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算。

4．反函数

定义

2设函数yf(x)的定义域为D，值域为M。对于任意数值yM，在D中都有唯一确定的值x，使x(y)，则得到一个以y为自变量，x为因变量的新的函数，这个新的函数叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，其定义域为M，值域为D。由于人们习惯用x表示自变量，而用y表示因变量，因此我们将函数yf(x)的反函数xf1(y)用yf1(x)表示。yf(x)与yf1(x)的图像关于直线yx对称。如图1-2。

求反函数的过程可以分为两步：第一步从yf(x)解出xf母x和y。反函数一定要指明其定义域。

二、函数的几种特性

1．有界性

若存在正数M，使得在区间I上恒有f(x)M，则称f(x)在I上有界，否则称f(x)在I上无界。

例如，函数y2．单调性

1(y)；第二步交换字1在区间0,1内无界，但在区间1,2内有界。x若对于区间I内任意两点x1,x2，当x1x2时有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调增加，区间I称为单调增区间；若f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。在单调增区间内，函数图像随着自变量x的增大而上升，在单调减区间内，函数的图像随着自变量x的增大而下降。

例如，yx2在区间0,内是单调增加的，在区间,0内是单调减少的，在区间,函数yx2不是单调函数。

3．奇偶性

设I为关于原点对称的区间，若对于任意的xI，都有f(x)f(x)，则f(x)叫做偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称，如图1-3；偶函数的图像关于y轴对称，如图1-4。若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，那么f(x)叫做非奇非偶函数。

例如，yx在区间,内是奇函数，yx1在区间,内是偶函数。34ysinxcosx在区间,是非奇非偶函数。

4．周期性

若存在不为零的数T，使得对于定义域I内的任意的xI，都有xTI，且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，其中T叫做函数的周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

例如，ysinx,ycosx都是以2为周期的周期函数。

三、基本初等函数

幂函数

yx（为常数）

指数函数

yax（a0,a1,a为常数）对数函数

ylogax（a0,a1,a为常数）

三角函数

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx

反三角函数

yarcsix,nyarccox,syarctax,nyarcoxt

以上五类函数统称为基本初等函数，常用的基本初等函数的定义域、值域、图像和性质见附表2。

四、复合函数

初等函数

在函数ysin2x中，我们不难看出，这个函数值不是直接由自变量x来确定的，而是通过2x来确定的，如果用u表示2x，那么函数ysin2x就可以表示成ysinu，而u2x，这也就说明了y与x的函数关系是通过变量u来确定的。

定义3

如果y是u的函数，而u又是x的函数，yf(u),u(x)，通过u将y表示成x的函数，那么y叫做x的复合函数，即

yf[(x)]

其中u叫做中间变量。

注意

函数(x)的值域应该取在函数yf(u)的定义域内。

例6

试求由函数yu,usinx构成的复合函数

33解

将usinx代入yu中，即为所求的复合函数ysinx

2注意

并非任意两个函数都能构成复合函数。例如yarcsinu与ux2便不能3复合成一个函数，因为u的值域为2,，不包含在yarcsinu的定义域1,1内，因而不能复合。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。例如，由函数

2y2u,usinv,vx21可以复合成函数y2sinx1，其中u和v都是中间变量。

例7

指出下列复合函数的结构：（1）y(2x1)；（2）y解（1）yu9,u2x1

（2）yu,ulogav,vcosx4

u（3）y10usinv,v9loga(cosx4)；（3）y10xsin1x；

x1 x对复合函数进行分解时，每个层次都应是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算式；当分解到基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算时，就不再分解了。

定义4

由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的，并能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数。例如y1x,ysinx,y等都是初等函数。初等函数是最常见的函数，它是微积分学研究的主要对象。

23loga3x小结：

1． 函数定义

2．函数性质

3．初等函数

4．复合函数

作业：P9，5 板书设计：

（一）引例

函数

（二）定义 函数定义 函数性质

（三）初等函数

初等函数 复合函数

（四）小结