P037算法案例秦九韶算法教案_秦九韶算法优秀教案

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清华同方教育技术研究院数学所

2013/04/16 Tuesday 09:41 算法案例---秦九韶算法

教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用.教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计.教学过程：

一、复习准备：

1.分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.2.设计一个求多项式

f(x)2x5x4x3x6x75432当x5时的值的算法.（学生自己提出一般的解决方案：将x5代入多项式进行计算即可）

提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算.优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)

二、讲授新课： 1.教学秦九韶算法：

① 提问：在计算x的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x，2然后依次计算xx，(xx)x，((xx)x)x的值，这样计算上述多项式的值，一共需

222要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）

② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.③ 更有效的一种算法是： 将f(5多x)4项

2x式

3变

5x2形

4x为

3x：

6x7，依次计算2555，55421，2153108，10856534，534572677

故f(5)2677.――这种算法就是“秦九韶算法”.（注意变形，强调格式）

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2013/04/16 Tuesday 09:41 ④ 练习：用秦九韶算法求多项式f(x)2xx3x5x1当x4时的值.（学生板书师生共评教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）

⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式题？

改f(xanxan1xnn1432f(x)anxan1xnn1a1xa0的求值问

写axa)anxanxanxaxa1：

.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即次多项式的值，即v2v1xan2v1anxan1，然后由内向外逐层计算一

.，v3v2xan3，，vnvn1xa0⑥ 结论：秦九韶算法将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，整个过程只需n次乘法运算和n次加法运算；观察上述n个一次式，可发出

vk的计算要用到

vk1的值，v0an,vvk1xank(k1,2,,n)v0an若令，可得到下列递推公式：k.这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式x5时的值并画出程序框图.f(x)5x2x3.5x2.6x1.7x0.85432当2.小结：秦九韶算法的特点及其程序设计

三、巩固练习：

1、练习：教材P35第2题

2、作业：教材P36第2题

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