复变函数教案7.3.2_复变函数教案第二章

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第七章 共形映射

教学课题：第三节

黎曼存在定理

教学目的：

1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；

2、充分了解边界对应定理；

3、了解线性变换的不动点；

4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。

教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。教学过程：

8、实例：

在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。例

1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|0保形映射成上半平面。解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数

z1，w'z1把-1及+1分别映射成w'平面上的0及两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。

由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z=0映射成w'=-1，半圆的直径AC映射成w'平面上的负半实轴。

yDABCxCB(1)OA(0)CD(1)A(0)B(1)OD(i)Cz平面w'平面w平面i1显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z=i映射成w'i，i1半圆ADC映射成w'平面上的下半虚轴。

根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限最后作映射

argw'2。

ww'2，当w'在第三象限中变化时，argw'在2及3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。因此，所求单叶函数为：

例

2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形0Imz保形映射成w平面上的单位圆|w|

z12ww'()。

z12w'ez，把z平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。

y取

iiw'

1xOOi平面上

Oz平面w'平面w平面关于实轴的对称点-i及i，那么函数

w'i, ww'i把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的单位圆|w|

因此，我们得到

eziwz.ei

例

3、求作一个单叶函数，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w平面上去掉割线1Rew1,Imw0而得的区域。解：容易验证，分式线性函数

w1，w'w1把割线1Rew1,Imw0保形映射成yw'平面上的负实轴，把扩充w平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。

Ow'平面xOO11Cz平面平面w平面另一方面，分式线性函数

z1，z1把圆|z|=1保形映射成平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3，可见它

平面上的右半平面。显然

w'2，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成把平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。

因此我们得到

w1z1w1z1由此可得函数w(z)2z即为所求函数。

例

4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域射成w平面上的上半平面，并且使得

/2x/2,y0保形映

f(/2)1,f(0)0。

解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数

w'eiz，把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。

yyDDA()CB(1)C(0)ABCxODBxw1平面OA(1)AB(0)C(1)z平面w'平面w平面

把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数

iw'1w1iw'1这时z把w12，因此，我们得到把以给半带域保形映射成w1平面的上半平面的单叶函数，不过/2,0,/2分别被映射成w1,1,0。作分式线性函数，,1,0映射成w1,0,1：

w11w，w11最后得到所求的单叶函数：

(iw'1)2(iw'1)2w'211izizw(ee)sinz。22(iw'1)(iw'1)2iw'2i例

5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平面。

解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数

w'z2，把z平面的第一及第二象限分别映射成w'平面的上半平面及下半平面。这时射线AD被映射成w'平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到h2的线段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域yC(hi)C(h2)D(0)A()B(0)ABDA()xAB(h)w'平面A()C(0)D(h)OD(h2)C(0)A()w平面A()B(h2)z平面A()w1平面被保形影射成w'平面除去射线Imw'0,Rew'h2而得的区域。

显然，函数

w1w'h2，把w'平面的上述区域映射成w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数

ww1，又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中取正值的一个解析分支。

结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：

w1应理解为在正实轴的上沿ww1w'h2z2h2。