高等数学教案ch 11 无穷级数_高等数学11级数

高等数学教案ch 11 无穷级数由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高等数学11级数”。

x

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数 给定一个数列

u1 u2 u3    un   

则由这数列构成的表达式

u1  u2  u3     un    

叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为un

n1即

unu1u2u3    un     其中 n1n1

余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值



rnssnun1un2   叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

aqnaaqaq2    aqn   

n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解 如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散

1qn0n0n

仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a

1q

例2 证明级数

123  n  

是发散的

证 此级数的部分和为

sn123    nn(n1)2

显然 limsn 因此所给级数是发散的

n

例3 判别无穷级数

解 由于

un因此

sn1111        的收敛性

122334n(n1)111

n(n1)nn11111     122334n(n1)

(1)()    (从而

limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1

n1所以这级数收敛 它的和是1

二、收敛级数的基本性质

n1n1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收n1n1敛 且其和为ks(如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks)n1n

1这是因为 设un与kun的部分和分别为sn与n 则

limnlim(ku1ku2    kun)klim(u1u2    un)klimsnks

nnnn 这表明级数kun收敛 且和为ks

n1

性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为n1n1n1s

这是因为 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则

n1n1n1

limnlim[(u1v1)(u2v2)    (unvn)]

nn

lim[(u1u2    un)(v1v2    vn)]

n

lim(snn)s

n

性质

3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)1111        也是收敛的

122334n(n1)级数10000级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不n1变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

(11)+(11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件



性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

（性质5的等价命题：若limun0，则级数un发散）

n0n1

证

设级数un的部分和为sn 且limsns 则

n1n

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

n0nnn

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例4 证明调和级数

11111        是发散的

23nn1n1收敛且其和为s sn是它的部分和

nn1

证 假若级数显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

s2nsn1111111        

n1n22n2n2n2n21必定发散

nn1故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n

§11 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数



定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界

n1n1n1n

1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2   ) 若级数vn收n1n1n1敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

snu1u2    unv1 v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛

n1n1n1

反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数

n1n1vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

n1n1n1

推论 设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时n1n1有unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立

则级数un发散

n1

例1 讨论p级数



n1111111       

pppppn234n 的收敛性 其中常数p0

解 设p1 这时1p1 而调和级数1发散 由比较审敛法知 当p1时级数1pnnn1nn1n发散

设p1 此时有

nn111111dxdx[p1](n2, 3,   )

pppp1n1nn1xp1(n1)nn对于级数[n211] 其部分和 p1p1(n1)n12][p112p1]    [p111np111

]1p1p1(n1)(n1)

sn[13因为limsnlim[1nn1]1

p1(n1)111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当p1]pp1p1nn2(n1)n1n时收敛



综上所述 p级数n11当p1时收敛 当p1时发散

pn1

例2 证明级数n1n(n1)是发散的

证 因为1n(n1)1(n1)21

n1而级数n11111        是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

n1n1

定理3(比较审敛法的极限形式)

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛

(2)如果limnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散

例3 判别级数sin1的收敛性

n1nsin

解 因为 limn1n1 而级数1发散

1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数sinn11发散

n

例4 判别级数ln(1n11)的收敛性

n2ln(1

解 因为 limn1)21n1 而级数收敛

21n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数ln(1n11)收敛

n2

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设un为正项级数 如果

n1limnun1un

则当1时级数收敛 当1(或limnun1un)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散

例5 证明级数1是收敛的

解 因为 limn1111        112123123   (n1)un1un limn123   (n1)123    n limn101

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

123n!

例6 判别级数112        的收敛性

23n10101010

解 因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim

n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散

例7 判别级数1的收敛性

(2n1)2nn

解 limnun1un lim(2n1)2nn(2n1)(2n2)1

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性

1112 而级数

因为收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2(2n1)2nnn1n

定理5(根值审敛法 柯西判别法)

设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散

例8 证明级数11113    n    是收敛的

223n 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解 因为 limnnun limnn11 lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为

|rn|



111    n1n2n3(n1)(n2)(n3)111    

(n1)n1(n1)n2(n1)n31

n(n1)n

例6判定级数n12(1)n2n的收敛性

解 因为

limnnunlim1n12(1)n

2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6

(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散

nnn1

(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛

nn1

例7 判定级数ln(1n11)的收敛性

2n

解 因为ln(111)~(n) 故 n2n2n

limn2unlimn2ln(1n121)limn21

nn2n根据极限审敛法 知所给级数收敛



例8 判定级数n1(1cosn1n)的收敛性

解 因为

limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()

n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的

交错级数的一般形式为(1)n1un 其中un0

n1

例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数

是交错级数 但(1)n1nnn1

定理6（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足条件

n1

(1)unun1(n1 2 3   )

(2)limun0

n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

简要证明 设前n项部分和为sn

由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)

及

s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛

设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1

因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1

例9 证明级数(1)n1 收敛 并估计和及余项

n11n

证

这是一个交错级数 因为此级数满足

(1)un11un1(n1, 2,  )

(2)limunlim10

nn1nnn由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1

1三、绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛

n1n1n1n1

若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛 若级数un

n1n1收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛

例10 级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的

(1)2nnn1n1n

1定理7 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛

值得注意的问题

n1n1

如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散



但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的

n1

例11 判别级数sinna的收敛性

2nn1

1na1

解 因为|sin2|2 而级数2是收敛的

nnn1nnasinna所以级数|sin2绝对收敛

|也收敛 从而级数2nn1n1n

2例12 判别级数(1)n1n(11)n的收敛性

n12n2

解 由|un|1n(11)n 有limn2nn|un|111lim(1)ne1

2nn2可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散

nn2

§ 11 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成的表达式

u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)    称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

收敛点与发散点

对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称

n1点x0是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(x0)发散 则称

n1n1点x0是级数un(x)的发散点

n

1收敛域与发散域

函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所

n1 有发散点的全体称为它的发散域

和函数

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)

n1n1

∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述

n1

在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)

这函数的定义就是级数的收敛域

部分和

函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x)

n1

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

余项

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

n1

rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幂级数及其收敛性

幂级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

a0a1xa2x2    anxn    

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数

幂级数的例子

1xx2x3    xn     

1x121x    xn    

2!n!

注 幂级数的一般形式是

a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n    

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

幂级数

1xx2x3    xn    

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的 因此它的收敛

域为(1 1) 在收敛域内有

11xx2x3    xn    

1x

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式

n0|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当

n0xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

证

先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件

n0n0n有limanx00 于是存在一个常数M 使 nnn| anx0 |M(n0, 1, 2,   )

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxnxnn||ax|||M||

n0nx0x0x0n|anxn||anx0xnn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anx|收敛 也就是级数anxn绝

x0n0n0n0对收敛

定理的例1 求幂级数

n1(1)n1nxnx2x3n1xx    (1)   

n23n的收敛半径与收敛域

1a

解

因为 lim|n1| limn11

nan1nn所以收敛半径为R11



当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

n

1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

nn1

例2 求幂级数1x1nx n!n012131xx    xn    2!3!n!的收敛域

1a(n1)!n! lim0

解

因为 lim|n1|  limnann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数n!xn的收敛半径

n0

解 因为

 lim|nan1an|  lim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解 级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2

当4|x|1即|x|21112时级数收敛 当4|x|1即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]!x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2[(n1)!]2提示

(2n)!2nun(x)x(n!)2un1(x)x2

例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域

tn

nn12nn1

解 令tx1 上述级数变为an1an

因为  lim|n2nn1| n1

2(n1)2所以收敛半径R2

(1)1

当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛 因此

nn1nn1tn级数n的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3 所以原级数的收敛域为[1, 3)

n12n

三、幂级数的运算

设幂级数anx及n0nn0bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有 加法 减法 n0anxbnx(anbn)xn

n0n0nnnnn0anxbnx(anbn)xn

n0n0

设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较

小的区间内有

加法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

乘法(anx)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2   

nn0n0

(a0bna1bn1    anb0)xn   

性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续

性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

n0

0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00anxdxxnann0n1xn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x|R)

n1n逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解 求得幂级数的收敛域为[1 1)

设和函数为s(x) 即s(x)

在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1

n0n11n1x的两边求导得 n1n011n1x)xn

[xs(x)](

n11xn0n0对上式从0到x积分 得

xs(x)1dxln1(x)

01xx

1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x

x 1 x0x11n

1因为xs(x)x[xn1]dx

0n0n1n0n1

x0n0xndx0x1dxln1(x)

1x所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)

x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0

例7 求级数(1)nn1的和

n0

解

考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

n0n1函数为s(x) 则s(1)(1)nn1

n0(1)11ln

在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n

§11 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

要解决的问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)

泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2   

f(n1)f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)

泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)    

f(n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数

f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n

f(x0)3!(xx0)    3f(n)(x0)n!(xx0)n   

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)

需回答的问题 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)?

定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即

nlimRn(x)0(xU(x0))

证明

先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n    

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)

麦克劳林级数 在泰勒级数中取x00 得

f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

f(x)a0a1xa2x    anx    

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x2   nanxn1    

f (x)2!a232a3x     n(n1)anx

n2

2n

    

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3     

  

  

  

  

   f(n)(x)n!an(n1)n(n1)   2an1x     

于是得

a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!    anf(n)(0)n!   

应注意的问题 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察

二、函数展开成幂级数

展开步骤

是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   (RxR)

例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数

解 所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2   ) 因此f

1x1x2    1xn   

2!n!(n)

x

(n)

(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

n1en1|x||x|x| e

|Rn(x)| |

(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式 而 limn(n1)!n

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数

解 因为f(n)(x)sin(xn )(n1 2

  )

2所以f(n)(0)顺序循环地取0 1 0 1   ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

2n1x3x5n1x    (1)   

x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| |因此得展开式

|x|n1| 0(n )

(n1)!2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例3 将函数f(x)(1 x)展开成x的幂级数 其中m为任意常数

解 f(x)的各阶导数为

f (x)m(1x)m1

f (x)m(m1)(1x)

        

f(n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn

        

所以

f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f(n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)    于是得幂级数

1mx可以证明

(1x)m1mx

间接展开法

例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数

解

已知

2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!m2m

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn    

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

对上式两边求导得

cosx1x2x4x2n    (1)n   (x)

2!4!(2n)!1展开成x的幂级数

1x

2例5 将函数f(x)

解 因为211xx2    xn   (1x1)

1x把x换成x 得

11x2x4    (1)nx2n   (1x1) 21x注 收敛半径的确定 由1x21得1x1

例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数

解

因为f(x)1

1x而1是收敛的等比级数1xn0(1)nxn(1x1)的和函数 

11xx2x3    (1)nxn    

1x所以将上式从0到x逐项积分 得

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)

234n

1解

f(x)ln(1x)[ln(1x)]dx0xx01dx 1xxn1

[(1)x]dx(1)(1x1)

0n1n0n0xnnn

上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续

例7 将函数f(x)sin x展开成(x

解

因为

sinxsin[并且有

cosx(

sinx(所以

sinx4(x4)的幂级数

4)]2[cos(x)sin(x)]

24444)111(x)2(x)4   (x)

2!44!4)(x4)11(x)3(x)5   (x)

3!45!4211[1(x)(x)2(x)3   ](x)

242!43!

4例8 将函数f(x)

解 因为

f(x)1展开成(x1)的幂级数

x24x3111111

2x1x1(x1)(x3)2(1x)2(3x)x4x34(1)8(1)24 nn11n(x1)n(x1)

(1)(1)n4n08n024n

n0(1)n(12n2122n3)(x1)n(1x3)

提示

1x2(x1)2(1x1)3x4(x1)4(1x1)

24n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n02212n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n04414收敛域的确定 由1

展开式小结 x1x11和11得1x3

2411xx2    xn   (1x1) 1xex1x121x    xn   (x)

2!n!sinxxx3x5x2n1    (1)n1   (x) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1    (1)   (x) 2!4!(2n)!ln(1x)xx2x3x4xn1    (1)n   (1x1) 234n1m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)(1x)m1mx

§11 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

例1 计算5240的近似值 要求误差不超过00001

解

因为5240524333(114)1/5

3所以在二项展开式中取m1 x14 即得

51114114912403(1428312   )

5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

|r2|3（3

1411491149141831216   )2452!353!354!3141112[1()    ] 28818152!3611118

12532527402000018111)

534于是取近似式为52403(1为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过104 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得

52402.9926

例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001

解

在上节例5中 令 x1可得

ln21111    (1)n1   .23n

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)234n1中的x换成x  得

x2x3x ln(1x)x   (1x1)

234两式相减 得到不含有偶次幂的展开式

ln1x11ln1(x)ln1(x)2(xx3x5   )(1x1) 1x3533令1x2 解出x1 以x1代入最后一个展开式 得

1x

ln22(13111111   ) 333535737如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

|r4|2(

11111113   )***[1()    ]

99312111.11970000031143913111111) 333535737于是取 ln22(同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

1111111 30.01235 50.00082 70.00007 0.333333335373因此得

ln 206931

例3 利用sinxx解

首先把角度化成弧度

9从而

x求sin9的近似值 并估计误差

3!1809(弧度)320(弧度)

1sin20203!20 

其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x 得

20111

sin     20203!205!207!20357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin的近似值 起误差为

111

|r2| (0.2)55!201203000000.003876 因此取 0.157080 20205203于是得

sin9015643 这时误差不超过105

例4 计算定积分

x2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001（取

210.56419）

解 将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式

ex21(x2)1!(x2)22!(x2)33!   

(1)nn0x2n(x).n!于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n01

(1111   ).24623252!273!前四项的和作为近似值 其误差为

|r4|所以

21111

294!90000820ex2dx1(112324252!16)0.52 0 5273!1

例5 计算积分

01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001

解 由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1

x0x则它在积分区间[0 1]上连续.展开被积函数 有

sinxx2x4x6

1   (x)

x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得

01sinx111dx1    

x33!55!77!因为 收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv

绝对收敛

2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛

vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛

n1

复变量指数函数 考察复数项级数

1z121z    zn    

2!n!x 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

ez1z121z    zn    

2!n!

欧拉公式 当x0时 ziy  于是

eiy1iy

1iy

(111(iy)2    (iy)n    2!n!12111yiy3y4iy5    2!3!4!5!121411yy   )i(yy3y5   )2!4!3!5!

cos yisin y

把y定成x得

ecos xi sin x

这就是欧拉公式

复数的指数形式 复数z可以表示为

zr(cos isin)rei 

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角

三角函数与复变量指数函数之间的联系

因为ecos xi sin x ecos xi sin x 所以 ixixix

e+e2cos x

ee2isin x

cosx1(eixeix) sinx1(eixeix)

22iixixxix这两个式子也叫做欧拉公式

复变量指数函数的性质

ez1z2ez1ez2

特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)

§11.7 傅里叶级数一、三角级数

三角函数系的正交性

三角级数 级数 a0(ancosnxbnsinnx)

2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n  1 2   )都是常数

三角函数系

1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

cosnxdx0(n1 2   )

sinnxdx0(n1 2   )

sinkxcosnxdx0(k n1 2   )

sinkxsinnxdx0(k n1 2    kn)



coskxcosnxdx0(k n1 2    kn)

12三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

dx2

2cosnxdx(n 1 2   )

sinnxdx2(n 1 2   )

二、函数展开成傅里叶级数

问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

f(x)a02(akcoskxbksinkx)

k1那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则

f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]

k1类似地f(x)sinnxdxbn

傅里叶系数

a0

an

bn11f(x)dx

f(x)cosnxdx(n 1 2   )

f(x)sinnxdx(n 1 2   ) 1系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数

a02(ancosnxbnsinnx)

n1 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数

问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的

定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个 1 f(x)4[sinxsin3x    sin2(k1)x    ]

32k1

(x x 0  2   )

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

f(x)x x0

0 0x将f(x)展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1)处收敛于

11[f(x0)f(x0)](0)

222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

a01f(x)dx10xdx  2an1f(x)cosnxdx10xcosnxdx1xsinnxcosnx01[](1cosn)22nnn2 n1, 3, 5,    

n2

0 n2, 4, 6,   

bn

1nf(x)sinnxdx10xsinnxdx1[xcosnxsinnx0cosn] nnn2(1)n1(n 1 2   )

f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x)   (x  x  3   ) 455

周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).例3 将函数

f(x)展开成傅里叶级数

解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x)

傅里叶系数为

a0

an1x  x0

x 0  x1f(x)dx1(x)dx0101xdx

12f(x)cosnxdx0(x)cosnxdx0

xcosnxdx4 n1, 3, 5,   

2(cosn1)n2

n0 n2, 4, 6,   

bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2   )

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

an0(n0 1 2   )

bn2 411(cosx2cos3x2cos5x   )(x)

2350f(x)sinnxdx(n1 2 3   )

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

bnsinnx

n1

当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3   )

bn0(n1 2   )

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02ancosnx

n1

例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数

解 首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )不连续 因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点x(2k1)(k0 1 2   )收敛于

11[f(0)f(0)][()]0

其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是 an0(n0 1 2   ) 而

bn

220f(x)sinnxdx20xsinnxdx

[xcosnxsinnx22]cosnx(1)n1(n1 2 3   )

02nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)2(sinx111sin2xsin3x    (1)n1sinnx    23n

(x  x 3    )

例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数

解 所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)

因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

an20u(t)cosntdt20tEsincosntdt

E011[sinn()tsinn()t]dt11cosn()tcosn()tE22]

[011nn22

4E(n0 1 2   )

(4n21)所以u(t)的傅里叶级数展开式为

u(t)4E(11cosnt)(t)

22n14n1

奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在(0 ]上 有F(x)f(x)

例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数

解

先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 nnn222 n1, 3, 5,    2n(1cosncosn)



2n n2, 4, 6,   n函数的正弦级数展开式为

x12[(2)sinx2sin2x1(2)sin3xsin4x    ](0x)

34在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 2nnn0 n2, 4, 6,    

2(cosn1)4

2 n1, 3, 5,    nn2

a020(x1)dx2x2[x]02 2

函数的余弦级数展开式为

x1 14(cosx2cos3x2cos5x   )(0x)

235

§11 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

我们所讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令xlt及f(x)f(llt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数

lt2l)f(lt)F(t) 这是因为F(t2)f[(t2)]f(于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数

F(t)其中

ana02(ancosntbnsinnt)

n11F(t)cosntdt(n0 1 2   ) bnF(t)sinntdt(n1 2   )

1从而有如下定理

定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

f(x)a0nxnx(ancosbnsin)

2n1ll其中系数an  bn 为

anf(x)cosll1lnxdx(n0 1 2   )

l

blnxn1llf(x)sinldx(n1 2   )

当f(x)为奇函数时

f(x)binnxns n1l

其中b2lln0f(x)sinnxldx(n  1 2   )

当f(x)为偶函数时

f(x)a02anxncos

n1l其中a2nlnxl0f(x)cosldx(n  0 1 2   )

例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

f(x)0 2x0(常数k0)k 0x2

将f(x)展开成傅里叶级数

解

这里l2

a1220kcosnx2dx[knsinnxn2]200(n0)

a102020dx1220kdxk

22k

b1n20ksinnx2dx[kncosnx2]2k 0n(1cosn)n0 于是

f(x)k22k(sinx213sin3x215sin5x2   )(x x0 2 4

   在x0 2 4    收敛于

k2)

 px 0l

例2 将函数M(x)x22展开成正弦级数

p(lx)2 l2xl

n1, 3, 5,    n2, 4, 6,   

解

对M(x)进行奇延拓 则

an0(n0 1 2 3   )

bn2lllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]

l00ll2l2l2l对上式右边的