西安科技大学电路教案ch6教案_西安科技大学电路

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第6章

一阶电路分析

教学目的：通过本章的学习，使学生掌握动态电路方程的确定及初始条件的确定，掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解，掌握一阶电路求解的三要素法，阶跃响应和冲激响应的概念及求解。

要求：1.动态电路方程的建立及初始条件的确定。

2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解； 3.一阶电路求解的三要素法；

4.一阶电路的阶跃响应概念及求解； 5.一阶电路的冲激响应概念及求解。

重点：1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；

2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解； 3.一阶电路求解的三要素法；

4.一阶电路的阶跃响应概念及求解。5.一阶电路的冲激响应概念及求解。难点：冲激响应，阶跃响应的求解 内容： 1动态电路与换路定则 2一阶电路的零输入响应 3一阶电路的零状态响应

4一阶电路的全响应与三要素法 5一阶电路的阶跃响应 6一阶电路的冲激响应

7阶跃响应与冲激响应的关系

本次课主要介绍动态电路的方程及初始条件的确定 课题：6-1 动态电路与换路定则

目的要求：熟练掌握换路定则和动态电路初始条件的确定。复习旧课：电容和电感元件的特性 讲授新课：

6-1 动态电路与换路定则

动态电路

含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。动态电路的特点：

当动态电路状态发生改变时（如接通、断开电源或信号源，某些子电路的接入或断开等）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。稳态

电路的响应不发生变化（值不变或变化规律不变）。换路

由于各种原因引起电路结构或参数发生变化的现象称为换路 换路的原因：

电路结构的改变（对电路进行某些控制操作（如接通、断开电源或信号源；某些子电路的接入或断开等；故障也会改变电路的结构；给电路加入了额外的激励干扰；电路元件参数的变化（外部环境如温度等的变化）

为了分析方便，一般规定换路是在t=0时刻发生的，同时认为换路是不需要时间的，即换路是在瞬间完成的。为了更进一步描述换路前后的状态，换路前的瞬间用t0表示，换路后的瞬间用t0表示。

例：电阻电路

S(t0)S(t0)Ri+uC-iUSRUSC

(a)

(b)

图6-1 稳态响应和过渡过程

一、动态电路和状态变量

由上面分析看出，当图6-1（a）电路进行换路后，电路在瞬间完成从一种稳态到达另一种新稳态的转换，所以电路中没有过渡过程。将换路后不发生过渡过程的电路称为静态电路。图（a）不发生过渡过程的原因是电路中除电源元件外只含有电阻元件。因为电阻元件上的VCR是比例关系，电阻电路换路后不会产生过渡过程，所以称电阻为静态元件，电阻电路称为静态电路。静态电路换路后不发生过渡过程。因为描述电阻电路的方程是线性代数方程，所以由线性代数方程描述的电路为静态电路。

图6-1（b）的电路则不同，因为图（b）电路中有动态元件电容，换路后有过渡过程。含有动态元件的电路称为动态电路，动态电路换路后会产生过渡过程，或者说，发生过渡过程的原因是电路中含有动态元件。由于动态元件的VCR是微分或积分关系，所以由动态元件组成的电路换路后不可能瞬间进入稳态。就是说，含有动态元件的电路由一种稳态进入另一种稳态是需要时间（过渡）的。电容和电感都是动态元件，由它们组成的电路（动态电路）会发生过渡过程。

二、动态电路的换路定则

1.动态电路的换路定则

根据式（5-5）知，线性电容在任何时刻的VCR为

uC(t)uC(t0)1tiC()d Ct0如果设t0为换路时刻，令t00，t0，代入上式，得

10uC(0)uC(0)iC()d(6-1)

C0由换路的概念知，换路是在瞬间完成的，所以0到0不需要时间。如果电流iC()iC(0)为有限值，则（6-1）式右边的积分项为零，则

uC(0)uC(0)(6-2)

可见，电容电压在换路前后是相等的，即电容电压不发生跃变（连续变化），所以电容元件储存的电场能不发生跃变。再由电容的定义qCuC，得

q(0)q(0)

(6-3)因此，电容上的电荷同样不发生跃变，即电容上的电荷也是连续变化的。式（6-2）和（6-3）就是电容元件的换路定则。在换路瞬间如果uC(0)uC(0)0，则电容相当于短路。

对于线性电感而言，根据式（5-22）知，电感的VCR为

1tiL(t)iL(t0)uL()d

Lt0令t00，t0，得

iL(0)iL(0)

10uL()d(6-4)L0同样从0到0瞬间，如果uL()uL(0)为有限值，则（6-4）式右边的积分为零，则

iL(0)iL(0)(6-5)

可见，电感电流在换路瞬间也是连续的，即不发生跃变，因此电感元件储存的电磁能不发生跃变。再根据线性电感的定义ΨLiL，得

Ψ(0)Ψ(0)

(6-6)所以，电感中的磁链是连续变化的，也不发生跃变。式（6-5）和（6-6）就是电感元件的换路定则。在换路瞬间如果iL(0)iL(0)0，则电感相当于开路。

2.动态电路初始条件的确定 求初始值的步骤: 1.由换路前旧稳态电路求uC(0－)和iL(0－)； 2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。3.画0+等效电路。a.换路后的电路

b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。4.由t＝0+时刻的电路求所需各变量的0+值。

研究动态电路的目的是求换路后的响应，即求t0时微分方程的解。因为微分方程的变量通常是uC和iL，当求出它们以后，其它变量（非状态变量）可以根据KCL和（或）KVL求出。在求解uC和iL时，首先要知道uC(0)和iL(0)，如果知道uC(0)和iL(0)，由换路定则可以求出它们。其它非状态变量的初始条件可以通过状态变量的初始条件求出。

例6-

1图6-2（a）所示电路，已知US为直流电源，设t0时电路已达到稳态，试求初始条件uC(0)、iL(0)、iC(0)、uL(0)、uR1(0)和uR2(0)。

R1iC+uR1-+uC-..R2R1iL+uLiC(0)+uR2-S(t0)..+US-R2iL(0)R1R2+uR1(0)-+uR2(0)-iC(0)+uC(0)-uL(0)C+US-L-+uC(0)-+uL(0)-+-iL(0)

(a)

(b)

(c)

图6-2 例6-1图

解

首先计算uC(0)和iL(0)，再由此求出uC(0)和iL(0)，进而求出非状态变量初始条件。因为在t0时电路已达稳态，且US为直流，可知电容电压和电感电流均为直流，根据iCduC/dt和uLdiL/dt得iC(0)0和uL(0)0，所以在t0时刻电容相当于开路、电感相当于短路，则0时刻的等效电路如图（b）所示，由图（b）可得

uC(0)US，iL(0)US/R2根据换路定则有uC(0)uC(0)US和iL(0)iL(0)US/R2，即在t0时刻电容相当于电压源，电感相当于电流源，则0时刻的等效电路如图（c）所示。根据图（c）得

iC(0)iL(0)US/R2

uR1(0)R1iL(0)R1US/R2 uR2(0)R2iL(0)US

uL(0)uC(0)uR1(0)uR2(0)uR1(0)R1US/R2

由该例看出，虽然电容电压和电感电流不能发生跃变，但电容电流和电感电压在换路时发生了跃变。可见，电容电流和电感电压是可以发生跃变的。作业：本次课主要介绍一阶电路的零输入响应 课题：6-2 一阶电路的零输入响应

目的要求：熟练掌握一阶电路零输入响应的特点和时间常数的定义 复习旧课：动态电路的初始条件 讲授新课：

6-2 一阶电路的零输入响应

所谓零输入响应就是动态电路在没有外加激励时的响应。电路的响应仅仅是由动态元件的初始储能引起的，也就是说，是由非零初始状态引起的。如果初始状态为零，电路也没有外加输入，则电路的响应为零。

首先研究RC电路的零输入响应。图6-3（a）所示为RC电路，换路前电容已充电，并设uC(0)U0，开关S在t0时闭合，则电路在0时刻换路。换路后，即t0时的电路如图（b）所示。

S(t0)iC+uC(0)U0-RC+-uC+uR-R

(a)

(b)

图6-3 零输入RC电路

由图（b），根据KVL，得

uRuC0

选状态变量uC为方程变量，再由uRRi和iCduC，代入上式得 dtRCduCuC0，t0(6-7)dt因为R、C为常数，所以该式是一阶线性齐次常微分方程。可见含一个储能元件的电路可以用一阶微分方程描述，所以RC电路是一阶电路。

由微分方程解的形式知，线性齐次常微方程的通解为uCAept，代入（6-7）式可得对应的特征方程为

RCp10

即特征根为

p1/RC

通解为

uCAe

tRC 根据换路定则和初始条件有uC(0)uC(0)U0，代入上式得积分常数AuC(0)U0，于是式（6-7）的通解为

tRCtRCuCuC(0)eU0e(6-8)

电路中的电流为

duUiCC0eRC(6-9)

dtRt由式（6-8）和（6-9）可以看出，电容上的电压uC和电路中的电流i都是按同样的指数规律衰减的，其变化曲线如图6-4所示。

uCU0uC(t0)uC(t0)iU0R0.368uC(t0)t0ot0tot

(a)

(b)

图6-4 RC电路的零输入响应

uC和i衰减的快慢取决于电路特征方程的特征根p1/RC，即取决于电路参数R和C的乘积。当R的单位取Ω时，C的单位取F时，有欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=秒，所以RC的量纲为时间，并令RC，称为时间常数。引入以后，uC和i可以表示为

uCuC(0)etttU0e(6-10)

Ui0e(6-11)

R时间常数是一个重要的量，一阶电路过渡过程的进程取决于它的大小。以电容电压为例，在任一时刻t0，uCuC(t0)，当经过一个时间常数后有

uC(t0)U0e(t0)/e1U0et0/0.368uC(t0)

可见，从任一时刻t0开始经过一个后，电压衰减到原来值的36.8%，见图6-4（a）。从理论上讲，当t时过渡过程结束，即电容电压和电流才能衰减到零。经过计算得，当t3时，uC(3)e3U00.0498U0；t4、5时，uC(4)0.0183U0，uC(5)0.0067U0。所以，一般认为换路后经过3~5后过渡过程就告结束。

可以证明，uC在t0处的切线和时间轴的交点为t0，见图6-4（a）。这一结果说明，从任一时刻t0开始，如果衰减沿切线进行，则经过时间它将衰减到零。

在整个过渡过程中，由于电容电压按指数规律一直衰减到零，所以电容通过电阻进行放电，电容中的初始储能——电场能（CU02/2）全部由电阻消耗并转换成热能，即WRi(t)Rdt020U(0eRC)2RdtR1CU022t1CU02e22tRC

0C0.5F，例6-

2图6-5（a）所示电路已达稳态，已知US10V，R16，R24，在t0时打开开关S，试求t0时的电流i。

R1S(t0).i+US-R2+CuCR2i+C.-uC-

图6-5 例6-2图(a)

(b)

解

由式（6-8）知，只要知道RC电路的初值uC(0)和时间常数就可以求出电容两端的电压，进而求出电流。

首先求uC(0)。已知换路前电路已达稳态，则

R2410uC(0)US4V

R1R264换路后t0时的电路如图（b）所示，根据换路定则有

uC(0)uC(0)4V

再求时间常数，R2C40.52s，代入（6-10）式，得

uC(t)uC(0)et4e0.5tV

则电流i为

i(t)CduC0.54(0.5)e0.5te0.5tA dt或者用iuC/R2同样可以得出此结果。

接下来研究RL电路的零输入响应。如图6-6（a）所示电路，在t0时刻将开关S由位置1合到位置2，换路后的电路如（b）所示。由图（a）知iL(0)IS，图（b）是RL零输入电路，根据KVL，有

uRuL0

选状态变量iL为方程变量，再由uRRiL和uLLdiL，代入上式，得 dtLdiLiL0，t0(6-12)Rdt式中R、L为常数，和（6-7）式相同，该式也是一阶线性齐次常微分方程，所以图6-6（b）称为RL一阶电路。

式（6-12）对应的特征方程为

Lp10 R特征根为

pR/L

通解为

iLAeRtL

根据换路定则和初始条件有iL(0)iL(0)IS，代入上式得积分常数AiL(0)IS，所以式（6-12）的通解为

iLiL(0)eRtLtISe(6-13)

式中L/R，称为时间常数。当R的单位取Ω时，L的单位取H时，有亨/欧=（伏·秒/安）/欧=秒，可见L/R的量纲也为秒。

1ISS(t0)2iLiLLR.电感和电阻两端的电压为

+uL-L+uR-R

图6-6 零输入RL电路

diuLuRLLRISe(6-14)

dtt(a)

(b)

iL、uL和uR随时间变化的曲线如图6-7所示，它们都是按同样的指数规律衰减的，衰减的快慢取决于时间常数，即取决于电路参数R和L。

ISiL，uL，uRiLouLuRtISR

图6-7 RL电路的零输入响应

换路以后电阻吸收的能量为WRiL(t)Rdt(ISe002RtL2)Rdt12LISe22RL012LIS2

2可见，在整个过渡过程中，电感的初始储能——磁场能（LIS/2）全部由电阻消耗了。

例6-

3已知图6-8（a）所示电路已达稳态，已知IS5A，R16，R23，L1H，在t0时合上开关S，试求t0时的电流i。

.ISR1.iiLR2R1.R2iiLS(t0)L..(a)

(b)

图6-8 例6-3图

.解

对于零输入RL电路，只要知道电路的初值iL(0)和时间常数就可以求出电感中的电流，然后再求出电流i。

换路前电路已达稳态，则

iL(0)IS5A

t0后的电路如图（b）所示，根据换路定则，有

iL(0)iL(0)5A

图（b）电路是零输入RL电路，和电感两端相连的等效电阻为

RR63Req122

R1R263所以时间常数L/Req1/20.5s，代入（6-13）式，得

iL(t)iL(0)et5e2tA

有两种方法可以求出图（a）中的电流i。方法一用分流公式，即

R1610i(t)iL(t)5e2te2tA

R1R2633方法二是先求出uL，再求出电流i，即

diuL(t)LL15(2)e2t10e2tV

dtu10i(t)Le2tA

R23本次课主要介绍一阶电路的零状态响应 课题：6-3 一阶电路的零状态响应

目的要求：熟练掌握一阶电路零状态响应的特点 复习旧课：一阶电路的零输入响应 讲授新课：

6-3 一阶电路的零状态响应

对于动态电路而言，反映动态元件储能大小的量称为状态变量，将状态变量在某一时刻的值称为状态。所谓零状态就是动态电路在换路时储能元件上的储能为零，即动态电路的零状态分别为uC(0)0V和iL(0)0A。零状态响应就是在零状态下由外加激励所引起的响应。

图6-9（a）为RC串联电路，已知uC(0)0V，在t0时将开关S闭合，则电路在0时刻换路。根据KVL，在t0时，有

uC，iS(t0)iR+uR-+US-CUSRUSuCuCi+uC-otuCUS

(a)

(b)

图6-9 RC电路的零状态响应

uRuCUS

du选uC为方程变量，再由uRRi和iCC，代入上式，得

dtRCduCuCUS，t0(6-15)dtuC uCuC该式是一阶线性非齐次常微方程。由数学知识知，非齐次常微方程的解由两部分构成，即 是非齐次方程的特解，uC是对应齐次方程的通解。其中uCK，代入（6-15）式，得 用解非齐次方程的待定系数法，令uCKUS uC式（6-15）对应齐次方程的通解为

AeuCt

其中RC为时间常数。于是有

uCUSAeuCuCt

根据初始条件有uC(0)uC(0)0，代入上式得AUS，即得式（6-15）的解为

uCUSUSetUS(1e)(6-16)

tt电路中的电流为

duUiCCSe(6-17)

dtR和uC。uC和i的变化曲线如图6-9（b）所示，同时图中也给出了uC由图可见，当t时，uC(t)US，i(t)0，电压和电流不再变化，电容相当于开路。此时电路达到了稳定状态，简称为稳态。对于式（6-15）的解而言，它由两个部分构US是电路达到稳定状态时的响应，所以称成，即特解和齐次方程的通解。可见特解uC取为稳态响应。又知稳态分量和外加激励有关，所以又称为强制响应。齐次方程的通解uC决于对应齐次方程的特征根而与外加激励无关，所以称其为自由响应。由于自由响应随时间按指数规律衰减而趋于零，所以又称其为暂态响应。因此，换路以后电路中的响应uC等于强制响应和自由响应之和，或者说，等于稳态响应和暂态响应之和。对于电流i来说，强制响应（或稳态响应）为0；自由响应（或暂态响应）为指数衰减形式，见（6-17）式。

对于图6-9（a）的电路，换路以后的过程实际上是直流电源通过电阻给电容充电的过程。在整个充电过程中，电源提供的能量一部分被电阻消耗了，而另一部分以电场能的形式储存在电容中。由于电容上的电压最终等于电源电压，所以当充电完毕电容上所储存的2电场能为CUS/2。电阻消耗的能量为

WRi(t)Rdt012CUSeRC22t20U(SeRC)2RdtRt012CUS2

可见，在整个充电过程中电阻所消耗的能量和电容最终储存的电场能相等，即电源所提供的能量只有一半变成电场能存于电容中，所以电容的充电效率只有50%。

在图6-9（a）的电路中，若将电容换成电感则电路如图6-10（a）所示。已知零状态，即iL(0)0A。换路后，根据KVL，有

uRuLUS di选iL为变量，由uRRiL和uLLL，代入上式，得

dtLdiLRiLUS，t0(6-18)dtiL iLiL该式是一阶线性非齐次常微方程，其解的结构为是特解，iL是齐次方程的通解。可得特解和齐次方程的通解分别为 其中iLUAe S，iLiLR其中L/R为时间常数。于是有

UiLSAe iLiLRtt根据零状态有iL(0)iL(0)0，代入得AUS/R，即得式（6-18）的解为

UUUiLSSeS(1e)(6-19)

RRRtt电感和电阻两端的电压分别为

diuLLLUSe(6-20)

dttuRRiLUS(1eiL、uL和uR的变化曲线如图6-10（b）所示。

S(t0)t)

(6-21)

RuC，iUSiL+uR-+US-+uL-LUSRuRiLuLot

(a)

(b)

图6-10 RL电路的零状态响应

例6-

4图6-11（a）所示电路，在t0时合上开关S，已知iL(0)0A，试求t0时的电流i1。

i5..0.5iS(t0)i1iLReq+10V-20.25H+-uoc0.25H..图6-11 例6-4图

iL+uL-

(a)

(b)

解

换路后应用戴维宁定理求得等效电路如图（b）所示，其中uoc3.75V，Req1.25，得时间常数为

代入式（6-19），得

L0.250.2s Req1.25UiLoc(1e)3(1e5t)A

ReqtuLLdiL0.253(1)(5)e5t3.75e5tV dt换路后2电阻上的电压就是电感电压uL，则

i1

uL1.875e5tA 214 本次课主要介绍一阶电路的全响应及三要素法 课题：6-4 一阶电路的全响应及三要素法

目的要求：熟练掌握一阶电路全响应的特点，响应的分解和三要素法 复习旧课：一阶电路的零输入响应和零状态响应 讲授新课：

6-4 一阶电路的全响应及三要素法

前面两节分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应。本节研究一阶电路在非零输入和非零状态下的响应，该响应称为一阶电路的全响应。

一、一阶电路的全响应

如图6-12所示电路，换路后直流电压源被接到RC串联电路中，即非零输入；又已知uC(0)U0，即非零状态。根据KVL，有

S(t0)iR+uR-+US-C+uC-

图6-12 一阶电路的全响应

RC方程解的结构为

duCuCUS，t0(6-22)dtuC uCuC其中特解和齐次方程的通解分别为

AeUS，uCuCt

tRC为时间常数，则

uCUSAeuCuC

根据初始条件有uC(0)uC(0)U0，代入上式得积分常数

AU0US

即得式（6-22）的解，即全响应为

uCUS(U0US)et(6-23)

该式右边的第一项为电路达到稳态时的响应，所以称为稳态响应；右边的第二项随着时间逐步衰减到零，所以为暂态响应。可见全响应可以表示为全响应 = 稳态响应 + 暂态响应

或者

全响应 = 强制响应 + 自由响应

将式（6-23）可以改写为

uCU0etUS(1e)(6-24)

t对比（6-10）和（6-16）式知，式（6-24）右边的第一项为电路的零输入响应，右边的第二项为电路的零状态响应。则全响应又可以表示为

全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

由此可见，电路的全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，这是由线性电路的性质所决定的。

将全响应分解成稳态响应（强制响应）和暂态响应（自由响应），或者零输入响应和零状态响应是从不同的角度来分析全响应的构成，便于进一步的理解动态电路的全响应。

二、三要素法

在（6-23）式中，当t时，uC(t)uC()US是稳态响应，uC(0)uC(0)U0是初始值，则（6-23）式可以改写为

uCu()[uC(0)uC()]et

由该式可见，只要知道uC()、uC(0)和时间常数，就可以求出电容电压的全响应。所以称uC()、uC(0)和是直流激励下一阶动态电路全响应的三个要素。直流激励下，当t时，uC(t)是一个值，所以uC()称为终值。

上述结论可以推广到直流激励下一阶动态电路中的任意响应，即设任意响应为f(t)，如果求出响应的终值f()、初值f(0)和时间常数，就可以求出f(t)，即

f(t)f()[f(0)f()]e(6-25)

t根据该式就可求出直流激励下一阶动态电路中的任意响应，这种方法称为三要素法。

有了三要素法以后，对于一阶电路就不需要由列微分方程开始来求电路中的响应了，而是利用公式（6-25）直接求取。或者说，只要求出相应的初值、终值和时间常数后直接代入式（6-25）即可。若f(t)是状态变量（uC或iL），则可以由换路定则求出初值f(0)，否则利用状态变量的初值间接求出非状态变量的初值。由于是直流激励，当t时电容相当于开路，电感相当于短路，所以利用该条件可以求出终值f()。因为是一阶电路，所以电路中只含一个动态元件（C或L），电路的其它部分是含源的一端口电路，它们可以分别表示成图6-13的形式。

图6-13中的含源的一端口NS可以用戴维宁或诺顿定理等效，则时间常数分别为

ReqC和L/Req(6-26)

式中Req是含源一端口NS的戴维宁或诺顿等效电阻。注意，若将NS变成N0，同样可以用三要素法求出响应。

aaNSNSCLbb

（a）（b）

图6-13 一阶动态电路的一般形式

例6-

5图6-14（a）电路已达稳态，试求t0时的uC、iC和i。

3S(t0)..iaaiC+2FuCReq+9V-6+-+uoc2FuC..(a)

uC/V2Ab--b

(b)

i，iC/AiC7t132ooti-122

(c)

(d)

图6-14 例6-5图

解

由图（a）电路首先求出uC的初值，即

uC(0)uC(0)2612V

为了求出换路后的终值和时间常数，将图（a）电路a、b左边的含源一端口用戴维宁定理等效，由结点电压法，得

119()uoc2 363解得uoc2V，再求出Req362，等效电路如图（b）所示，于是得 36uC()uoc2V

ReqC224s

将以上结果代入（6-25）式，得uC2(122)e0.25t(214e0.25t)V iCCduC2(14)(0.25)e0.25t7e0.25tA dtiuC17(e0.25t)A 633uC、iC和i的波形图分别如图（c）和（d）所示。

例6-6

图6-15（a）所示电路已达稳态，在t0时将开关S由位置2合到1，试求t0时的iL和uL。

2S(t0)2ia1....0.5i+10V3-iL8iSC.ReqaiL+0.3HuL-b5A0.3H..uL/V+uL-b

(a)

(b)

iL/A1053otot

(c)

(d)

图6-15 例6-6图

解

先由图（a）电路求出iL的初值，即

iL(0)iL(0)5A

将图（a）电路a、b左边的含源一端口用诺顿定理等效，得

3uoc106V

23isc0.5isc5

解得isc10A，所以

Requoc60.6 isc10等效电路如图（b）所示，于是得

iL()isc10A

L/Req0.3/0.60.5s

由三要素法，得

iL10(510)e2t(105e2t)A diuLLL0.3(5)(2)e2t3e2tV

dtiL和uL的波形分别如图（c）和（d）所示。本次课主要介绍一阶电路的阶跃响应 课题：6-5 一阶电路的阶跃响应

目的要求：熟练掌握阶跃信号和一阶电路的阶跃响应 复习旧课：一阶电路的求解的三要素法 讲授新课：

6-5 一阶电路的阶跃响应

在前面几节中，动态电路都是通过开关实现换路的，即电路结构或参数的改变是通过开关的动作完成的。在各种换路现象中，有一种是通过开关S将激励施加于电路，即在t0时刻（也可以是其它时刻）将激励施加于电路。为了简化开关过程，本节引入一种函数，该函数称为阶跃函数。阶跃函数是一种奇异函数或开关函数。在电路分析中，常用的奇异函数有单位阶跃函数和单位冲激函数。引入单位阶跃函数以后，可以通过该函数将激励在任一时刻施加于电路，由此引起的响应称为阶跃响应。

一、单位阶跃函数

单位阶跃函数是一种奇异函数，其定义为

(t)01t0(6-27)t0该函数说明，当t0时函数的值为0，当t0时函数的值为1，其波形如图6-18（a）所示。因为该函数在t0时发生跃变，并且跃变的幅度为1，所以称为单位阶跃函数。由于该函数在t0时刻的导数不存在，所以称为奇异函数。

如果阶跃函数的跃变不是发生在0时刻，而是在任意tt0时刻，即

0(tt0)1tt0(6-28)tt0其波形如图6-18（b）所示。(tt0)函数实际上是将(t)函数在时间轴上移动t0后的结果，所以称为延迟单位阶跃函数。

(t)11(tt0)otot0t

(a)

(b)

图6-16 单位阶跃函数和延迟单位阶跃函数

二、阶跃函数在电路中的应用

引入单位阶跃函数的目的是利用它来描述电路中的换路现象。首先看单位阶跃函数一个很重要的用途，即利用该函数可以“起始”任意一个函数f(t)。设f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数，则

0f(t)(tt0)f(t)其波形如图6-17所示。

f(t)tt0 tt0f(t)(tt0)ot0tot0t

(a)

(b)图6-17 用单位阶跃函数起始任意函数

根据单位阶跃函数的起始作用，可以为开关S建模。设图6-18（a）中的uS(t)是任一随时间变化的电压源，在t0时刻将开关S由位置1合向位置2，对a-b端口而言相当于在0时刻将uS(t)接入。这一过程可以用(t)和uS(t)的相乘来描述，即uS(t)(t)，其结果如图6-18（b）所示。可见用函数uS(t)(t)可以描述图（a）的开关过程。所以阶跃函数可以作为开关的数学模型，有时也称其为开关函数。同理，图（d）中的函数iS(t)(t)可以描述图（c）中的开关过程，它们均表示在t0时刻将任一随时间变化的电流源iS(t)接到a-b端口。如果用函数(tt0)为开关建模，则表示在tt0时刻将电压源或电流源接通。

2S(t0)+uS(t)-1a+uS(t)(t)-bba.S(t0)

(a)

(b)

21aiS(t)(t)aiS(t).bb

(c)

(d)

图6-18 阶跃函数的开关模型

单位阶跃函数的另一个用途是用它可以描述一个幅值为1的矩形脉冲。例如图6-19（a）所示的矩形脉冲可以用图6-19（b）所示的两个阶跃函数波形来组合，即

f(t)(t)(tt0)

f(t)1t0oot0tt1

(a)

(b)图6-19 由阶跃函数组成矩形脉冲

同理，可以用阶跃函数描述任意时间段的矩形脉冲，即 f(t)(tt1)(tt2)，请读者自己画出该矩形脉冲的波形。

t1t2三、一阶电路的阶跃响应

图6-20（a）所示为RC串联电路，已知激励为US(t)，求该激励下的响应uC。由于电路中的激励是由阶跃函数起始的，则所求的响应称为阶跃响应。

RR+US(t)(t)-+CuC+CuC--

(a)

(b)

图6-20 RC电路的阶跃响应

激励US(t)表明在t0时刻将直流电压源US接入RC串联电路。由(t)函数的定义知，当t0时(t)0，所以US(t)0。又因为US是电压源，所以在t~0期间它相当于短路，等效电路如图6-20（b）所示。由此得

uC(0)uC(0)0

可见，阶跃响应是零状态响应。由§6-3节知，图（a）RC电路的零状态响应为

uC(t)US(1et/)(t)

(6-29)式中RC，(t)表明响应是从零时刻开始并由单位阶跃函数起始的，所以为阶跃响应。如果US1，则激励变为单位阶跃(t)，所得的响应称为单位阶跃响应，即式(6-29)变为

s(t)uC(t)(1et/)(t)

(6-30)式中s(t)表示单位阶跃响应。例6-7

试求图6-21（a）所示电路的阶跃响应iL。

.IS(tt0)R1R2.iL(tt0)ISiLLReqL.b.图6-21 例6-7图

b

(a)

(b)

解

由图可知直流电流源IS是在tt0时刻接入的，即初始条件为

iL(t0)iL(t0)0

求得图（a）电路中a、b左边的诺顿等效电路如图（b）所示，其中

R1ISIS，ReqR1R2

R1R2于是得阶跃响应为

(1eiL(t)IStt0)(tt0)

该响应称为延迟阶跃响应，其中L/Req。

本次课主要介绍一阶电路的冲激响应

课题：6-6 一阶电路的冲激响应

目的要求：熟练掌握冲激函数的概念和一阶电路的冲激响应 复习旧课：一阶电路的阶跃响应 讲授新课：

6-6 一阶电路的冲激响应

阶跃函数可以为电路中的开关建模，或者可以起始一个函数。如果被起始的函数是电容电压uC或电感电流iL，那么对uC或iL求导应该是电容电流iC或电感电压uL。这样就涉及到对阶跃函数的求导运算，将对阶跃函数求导所得到的函数称为冲激函数，由该函数激励下的响应称为冲激响应。

一、单位冲激函数

单位冲激函数是对单位阶跃函数求导所得到的函数，其定义为

t00d(t)(t)未定义t0dt0t0(6-31)(t)dt1可见，单位冲激函数在t0处为零，在t0处是未知的。因为(t)函数在t0处的导数是，所以冲激函数(t)在t0时是奇异的，因此它也是一种奇异函数。单位冲激函数也称为函数。由定义知，函数在整个时间域的积分等于1，即积分所得的面积为1。

单位冲激函数(t)可以看作是单位脉冲函数的极限情况。图6-22（a）所示为一个单位矩形脉冲函数p(t)，它的宽为，高为1/，则面积等于1。当脉冲宽度0时，脉冲高度(1/)，于是该脉冲的宽度趋于零而高度趋于无穷大，但面积仍然为1，则单位脉冲函数可以描述为

(t)limp(t)

0(t)函数的波形如图6-22（b）所示，箭头表示，1表示积分面积或冲激强度。可见，单位冲激函数(t)的冲激强度为1。冲激强度为K的冲激函数记为K(t)，波形如图6-22（c）所示，K表示冲激强度。

1p(t)(t)K1K(t)ototot

(a)

(b)

(c)

图6-22 冲激函数

如果冲激函数发生在任意时刻t0，表示冲激函数在时间轴上移动t0，此时冲激函数可记为(tt0)或K(tt0)，称为延迟冲激函数。

二、单位冲激函数的性质

下面介绍冲激函数的两个主要性质。

1．由定义式知，单位冲激函数是单位阶跃函数的导数，即

d(t)dt反之，单位冲激函数对时间的积分是单位阶跃函数，即

(t)2．筛分性质

t()d(t)

(6-32)由于在t0处(t)0，对于任意在t0处连续的函数f(t)，有

f(t)(t)f(0)(t)所以

0f(t)(t)dtf(0)(t)dtf(0)

0可见，冲激函数(t)可以将任意函数f(t)在0时刻的值分离出来或者“筛”出来，所以该性质称为筛分性质，有时也称为抽样性质。

同理，利用延迟冲激函数可以筛分出任意t0时刻f(t)的值，即

f(t)(tt0)dtf(t0)(t)dtf(t0)



三、电容电压和电感电流的跃变

前面讨论了冲激函数的定义与性质，由于冲激作用是在瞬间完成的，如果将这样具有冲激变化规律的激励作用于电路，当冲激过后，冲激源所携带的能量是如何转移的，这是本小节将讨论的内容。

在§6-1节已经讨论过，换路瞬间若电容的电流为有限值，则换路前后电容电压是连续的，即不发生跃变；若电感电压为有限值，则换路前后电感电流也不发生跃变。但是，如果电容电流或电感电压在换路瞬间不是有限值，确切的说是冲激函数，则电容电压或电感电流将发生跃变。设iC(t)Qi(t)，Q是冲激电流的强度，根据式（5-5）知

1tuC(t)uC(t0)iC()d

Ct0由于(t)函数在0时刻作用，所以令t00和t0，代入上式，得

10QuC(0)uC(0)Qi(t)dtuC(0)(6-33)

C0C可见uC(0)uC(0)。结果说明，若有冲激电流作用于电容时，电容电压可以跃变。由（6-33）式可以得出冲激电流所携带的电荷量为

QC[uC(0)uC(0)](6-34)

因为冲激电流使电容电压发生了跃变，所以冲激作用前后电容上所储存的电场能也发生了跃变，因此冲激电流携带有一定的能量。由于Q是有限值，所以能量跃变的幅度也是有限值，或者说冲激所携带的能量也是有限值。

如果电容电流为单位冲激，则

uC(0)uC(0)1(6-35)C对于电感来说，设uL(t)Ψu(t)，Ψ是冲激电压的强度，由式（5-22）知

iL(t)iL(t0)令t00，t0，代入上式，得

1tuL()d Lt025 iL(0)iL(0)10Ψ(6-36)Ψ(t)dti(0)uLL0L该式表明，若有冲激电压作用于电感时，电感电流可以跃变，即iL(0)iL(0)。由（6-36）式得出冲激电压所携带的磁链大小为

ΨL[iL(0)iL(0)](6-37)因为冲激电压使电感电流发生了跃变，又因为Ψ是有限值，所以电感所储存的磁场能跃变的幅度（或者冲激所携带的能量）也是有限值。

如果电感电压为单位冲激，则

iL(0)iL(0)1(6-38)L需要注意的是，如果冲激电压（而不是冲激电流）作用于电容，或者是冲激电流（而不是冲激电压）作用于电感，则电容电流和电感电压将是冲激的导数，称为冲激偶。本书不讨论这种情况。

四、冲激响应

如果一个动态电路的激励源为冲激（冲激电流或冲激电压），由冲激函数的定义知，冲激源的作用是瞬时发生的，就是说，在冲激作用以前电路中没有激励，由于冲激源携带有一定的能量，冲激过后冲激源所携带的能量转移到电路中。所谓冲激响应就是由冲激源所携带的能量引起的响应。

求冲激响应首先要解决的问题是，当冲激过后，冲激所携带的能量转移到何处，确切地说，冲激过后能量转移到哪一个（些）具体的元件上。当动态电路由冲激激励时，冲激到来之前电路处于零状态。设冲激在0时刻作用，根据零状态条件，则电路中所有的uC(0)0和iL(0)0。当冲激电压源u(t)或者冲激电流源i(t)作用于电路时，由于电容

22或者电感只能存储有限的能量，根据WCCuC/2和WLLiL/2知，电容电压不可能是冲激电压；同理，电感电流也不可能是冲激电流。因为冲激在t0时刻作用，则有uC(0)uC(0)0和iL(0)iL(0)0，所以在冲激作用瞬间电容可看作短路，电感可看作开路。有了这两个条件以后就可以画出t0（冲激作用）时刻的等效电路，然后根据KCL和KVL得出冲激电流或者冲激电压的约束关系，进而求出动态元件的初始状态（或初始值）。

有了动态元件的初始状态以后，就可以求电路的冲激响应了。例6-８

试求图6-23（a）所示电路的冲激响应uC。

i(t).RC.+uC-.RiCi(t)RC..26

.iC+uC-(a)

(b)

(c)

图6-23 例6-8图

解

首先求冲激电流源i(t)携带能量的转移结果。根据上面的分析，在i(t)作用的0时刻电容相当于短路，其等效电路如6-23（b）所示。由图（b）并应用KCL得iCi(t)，由于是冲激激励，所以uC(0)0，根据式（6-35），有

11uC(0)uC(0)

CC当t0时，由于i(t)0，冲激电流源相当于开路，等效电路如图6-23（c）所示，求冲激响应就是求图（c）电路在t0时的零输入响应，即

1uCuC(0)e(t)e(t)

Ctt式中RC，是给定RC电路的时间常数，乘(t)表示响应发生在t0时。

例6-9

试求图6-24（a）所示电路的冲激响应iL和uL。

RiLRRiL+u(t)-+uL-L+u(t)-+uL-+uL-L

(a)

(b)

(c)iLu(t)uL1LotRLto

(d)

(e)

图6-24 例6-9图

解

先求冲激电压源u(t)能量的转移结果。在u(t)作用的0时刻电感相当于开路，其等效电路如6-24（b）所示。由图（b）并应用KVL得uLu(t)，因为是冲激激励，所以iL(0)0，根据式（6-38），有

iL(0)iL(0)11 LL当t0时，由于u(t)0，冲激电压源相当于短路，等效电路如图6-24（c）所示，求冲激响应iL就是求图（c）电路在t0时的零输入响应，即

1iLiL(0)e(t)e(t)

Ltt 27 式中L/R为电路的时间常数。

求冲激响应uL有两种方法。方法一是直接对冲激响应iL求导，即

di11RuLLLL[e(t)e(t)](t)e(t)

dtLLttt式中应用了冲激函数的筛分性质，即et/KVL，得

t01。另一种方法是，根据图6-24（a）并应用

RuLu(t)RiLu(t)e(t)

Lt如果只考虑t0时的响应，则uL将不存在冲激项。iL和uL的波形分别如图6-24（d）和（e）所示。

本次课主要介绍阶跃响应和冲激响应的关系 课题：6-7 阶跃响应和冲激响应的关系 目的要求：掌握阶跃响应和冲激响应的关系 复习旧课：一阶电路的阶跃响应和冲激响应 讲授新课：

6-7 阶跃响应和冲激响应的关系

前面两节分别讨论了一阶电路的阶跃响应和冲激响应。由冲激函数的性质知道，冲激函数是阶跃函数的导数，而阶跃函数是冲激函数的积分。对于线性动态电路来说，电路的冲激响应与阶跃响应之间同样存在着导数与积分关系。

若某一线性电路的激励为单位阶跃(t)，设阶跃响应为s(t)；若将同一电路的激励换成单位冲激(t)，并设对应的冲激响应为h(t)，则h(t)与s(t)之间存在着如下关系

h(t)ds(t)(6-39)dts(t)h(t)dt(6-40)

下面以一阶线性电路为例对上述关系加以说明。设一阶线性电路的激励为g(t)，所求的响应为f(t)，则描述电路的方程是一阶线性常微方程，即

df(t)f(t)g(t)(6-41)dt解此方程就得到了电路在激励g(t)下的响应f(t)。

K对（6-41）式的两边求导，即

ddfdfdg(6-42)()dtdtdtdt可见，如果电路的激励为dg/dt，则可以通过该式解出响应为df/dt。

K比较（6-41）和（6-42）式可以知道，对于同一线性电路中的同一响应来说，如果激励变为原激励的导数，则所得响应就是原响应的导数。如果令激励为单位阶跃，即g(t)(t)，则阶跃响应为s(t)f(t)。如果改变激励为

dgd(t)(t)是单位冲激，则dtdtdfds(t)，即验证了（6-39）式。这一结果说明，对于同一电路dtdt的同一响应来说，如果知道了单位阶跃响应就可以通过求一阶导数得到单位冲激响应。

如果对（6-41）式的两边积分（忽略积分常数），得 单位冲激响应为h(t)Kdfdtfdtgdt(6-43)dt可见，如果激励为gdt，则响应为fdt。

比较（6-41）和（6-43）式，对于同一线性电路中的同一响应来说，如果激励变为原激励的积分，则所得的响应就是原响应的积分。如果令激励g(t)(t)，则冲激响应为h(t)f(t)。若将激励变为gdt(t)dt(t)是单位阶跃，则响应为s(t)h(t)dt单位阶跃响应，即验证了（6-40）式。可见，对于同一电路的同一响应来说，若已知单位冲激响应就可以通过积分得到单位阶跃响应。

有了以上的结论以后，将给求解响应带来便利。一般是通过求解阶跃响应来求冲激响应。请看下面的例子。

例6-10

试求图6-25（a）所示电路的冲激响应uC。

R1.R2R1.R2Req+u(t)-+CuC+(t)-C.-.+uCS-+uoc(t)C+--uCS

(a)

(b)

(c)

图6-25 例6-10图

解

为了求冲激响应，利用冲激响应和阶跃响应的关系先求出阶跃响应，然后对阶跃响应求导即可。为此用单位阶跃激励替换图6-25（a）中的单位冲激激励如图（b）所示。用戴维宁定理将（b）图进行等效得图（c）所示电路，其中

RRR2uoc，Req12

R1R2R1R2由图（c）得出阶跃响应为

s(t)uCS(t)uoc(1et/)(t)

其中ReqC为时间常数。根据（6-39）式可以求出冲激响应，即h(t)uC(t)ds(t)11t/uoc[et/(t)(1et/)(t)]e(t)dtReqC此处应用了(t)函数的筛分性质。