高等数学(上册)教案20 分部积分法（版）_高等数学定积分教案

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第4章 不定积分

分部积分法

【教学目的】：

1.理解分部积分法；

2.能熟练地运用分部积分法求解不定积分。

【教学重点】： 1.分部积分法。

【教学难点】：

1.分部积分法应用中u和v的选择。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法．

设uu(x),vv(x)有连续的导数，由(uv)'u'vuv'，得uv'(uv)'u'v两边积分，有uv'dx(uv)'dxu'vdx 即

udvuvvdu ① 式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法．

利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取u和dv，选取原则是：

（1）v要容易求出．

（2）vdu要比原积分udv易求得．

下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择u和dv： 例1 求xcosxdx．

解 令 ux,dvcosxdx,则vsinx，于是

xcosxdxxd(sinx)xsinxsinxdxxsinx(cosx)C

xsinxcosxC．

此题若令ucosx,dvxdx,则v12x，于是 2121212xcosxdxcosxdxcosxxxd(cosx)222121xcosxx2sinxdx． 221这样新得到的积分x2sinxdx反而比原积分xcosxdx更难求了．所以在2分部积分法中，uu(x)和dvdv(x)的选择不是任意的，如果选取不当，就得不出结果．

例2 求xexdx．

解 设ux,dvexdx，则vex，于是

xxxxxxxedxxdexeedxxeeC． 注：在分部积分法中，u及dv的选择有一定规律的．当被积函数为幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幂函数为u．

例3 求x2lnxdx．

11解 为使v容易求得，选取ulnx,dvx2dxdx3，则vx3，于是

322xlnxdx113133lnxdxxlnxxd(lnx)3331111x3lnxx2dxx3lnxx3C． 3339

例4 求arctanxdx．

解

设uarctanx,dvdx，则vx，于是

arctanxdxxarctanxxd(arctanx)xarctanxxxarctanx1dx1x2

11122d(1x)xarctanxln(1x)C． 221x2注 1如果被积函数含有对数函数或反三角函数，可以用考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u．

注2 在分部积分法应用熟练后，可把认定的u，dv记在心里在而不写出来，直接在分部积分公式中应用． 例6 求exsinxdx．

解 exsinxdxexd(cosx)excosxexcosxdx

excosxexd(sinx)excosxexsinxexsinxdx．

移项，得2exsinxdxex(sinxcosx)2C1，故 exsinxdx1xe(sinxcosx)C． 2注1 如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为u，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为u．

注2 有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用．（如下例）

例7 求exdx．

解 先去根号，设xt，则xt2,dx2tdt，于是

exdxet2tdt2tdet2tet2etdt

2tet2etC2exx1C．

例8 已知f(x)的一个原函数是(1sinx)lnx，试求xf'(x)dx． 解 由题意知f(x)dx(1sinx)lnxC，得

f(x)[f(x)dx]'[(1sinx)lnxC]'cosxlnx1sinx x所以 xf(x)xcosxlnx1sinx． 故 xf'(x)dxxf(x)f(x)dx

xcosxlnx1sinx(1sinx)lnxC．

【教学小节】：

通过本节的学习，学会使用分部积分法计算不定积分。

【课后作业】：

能力训练 P117 1（1、3、6、7、9）