高等数学第九章重积分教案_高等数学定积分教案

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第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

9.1.1 二重积分的概念

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

设有一平面薄片占有xOy>面上的闭区域D>，它在点（x>，y>）处的面密度为ρ（x>，y>），这里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上连续。现在要计算该薄片的质量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =>ρS>）来计算。但ρ（x>，y>）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i>的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i>（这小闭区域的面积也记作D s i

>）上任取一点（x i>，h i>），则ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作第i>个小块的质量的近似值。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M>，即 >。

>再设有一立体，它的底是xOy>面上的闭区域D>，它的侧面是以D>的边界曲线为准线而母线平行于z>轴的柱面，它的顶是曲面z = f>（x>，y>），这里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V>。

>由于曲顶柱体的高f>（x>，y>）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D>分成n个小闭区域D s 1，D s 2>，„，D s n>，在每个D s i>上任取一点（x i>，h i>），则f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作以f>（x i>，h i>）为高而底为D s i>的平顶柱体的体积>。通过求和，取极限，便得出 >。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。> 定义 >设f>（x>，y>）是有界闭区域D>上的有界函数。将闭区域D>任意分成n>个小闭区域

>D s 1，D s 2>，„，D s n>，>其中D s 也表示它的面积。在每个D s（x h，i>表示第i>个小闭区域，i>上任取一点i>，i>）作乘积 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >„, n,>），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f>（x>，y>）在闭区域D>上的二重积分，记作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被积函数，f>（x>，y>）ds >叫做被积表达式，ds >叫做面积元素，x>与y>叫做积分变量，D>叫做积分区域，叫做积分和。

>在二重积分的定义中对闭区域D>的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D>，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i>的边长为D xj>和D yk>，则D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds >记作dxdy>，而把二重积分记作 >

>其中dxdy>叫做直角坐标系中的面积元素。

>这里我们要指出，当f>（x>，y>）在闭区域D>上连续时，（*>）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f>（x>，y>）在D>上的二重积分必定存在。> 9.1.2 二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

>性质1 >被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 > >（k>为常数）。

>性质2 >函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如 >。

>性质3 >如果闭区域D>被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D>上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D>分为两个闭区域D1>与 D2>，则 >。

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

>性质4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 为D>的面积，则 >。

>此性质的几何意义很明显，因为高为1>的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。>性质5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），则有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性质6 >设M>，m>分别是f>（x>，y>）在闭区域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面积，则有 >。

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

>性质7>（二重积分的中值定理）>设函数f>（x>，y>）在闭区域D>上连续，s 是D>的面积，则在D>上至少存在一点（x，h）使得下式成立： >。

第二节 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。9.2.1 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f（x，y）≥ 0。并设积分区域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

来表示，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为。

一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的体积为。

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

。（1）

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。

因此，等式（1）也写成，（1’）

在上述讨论中，我们假定f（x，y）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

来表示，其中函数ψ1（y）、ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有。

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作。

因此，等式（2）也写成，（2’）

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

例1 计算，其中D是由直线y =

1、x = 2及y = x所围成的闭区域。

解法1 首先画出积分区域D。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得。

解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。解 设这两个圆柱面的方程分别为 x + y = R及x + z = R

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以9就行了。

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 2222

22，如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是。

利用公式（1）得

从而所求立体体积为。

9.2.2 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义有。，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有

。于是

上的一点，该，即。

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成。（4）

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。，二重积分化为二次积分的公式为

。（5）

上式也写成。（5'）

特别地，如果积分区域D是所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 来表示，而公式（5'）成为。

如果积分区域D如图）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-9中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为。

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为。

在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为。

如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有。

特别地，如果闭区域D如图9-2-9所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球体x+y+z≤4a圆柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解 由对称性，22

222

2，其中D为半圆周式

及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 来表示。于是。

第三节 二重积分的应用实例

在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ内。这个f（x，y）dσ称为所求量U的元素而记作dU，以它为被积表达式，在闭区域D上积分：，这就是所求量的积分表达式。9.3.1 曲面的面积 设曲面S由方程 z = f（x，y）

给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ）。在dσ上取一点P（x，y），对应地曲面S上有一点M（x，y，f（x，y）），点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区域dσ的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为γ，则

。因为，所以。

这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得。

上式也可写为这就是计算曲面面积的公式。

设曲面的方程为x=g（x，y）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到xOy面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得，或例1 求半径为a的球的表面积。

解：取上半球面的方程为x+y≤a。222，则它在xOy面上的投影区域D可表示为由，得。因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x+y≤b（0

222，利用极坐标，得

于是。

这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为

A = 4πa2。

9.3.2 平面薄片的重心

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要找该薄片的重心的坐标。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得。

又由第一节知道，薄片的质量为。

所以，薄片的重心的坐标为。

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为

（1）

其中为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图形D的形心，就可用公式（1）计算。

例2 求位于两圆r = 2sinθ和r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心

解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心再按公式

必位于y轴上，于是。

计算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。再利用极坐标计算积分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的转动惯量

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy。应用元素法，在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

22。

例3 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。解：取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为 x+y≤a，y≥0；

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。222

其中 为半圆薄片的质量。

第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。9.4.1 利用柱面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为r，θ，则这样的三个数r，θ，z就叫做点M的柱面坐标，这里规定r、θ、z的变化范围为： 0 ≤ r

r = 常数，即以z轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z轴的半平面； z = 常数，即与xOy面平行的平面。显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

（1）

现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面r = 常数，θ=常数，z = 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。考虑由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱体的体积。柱体的高为dz、底面积在不计高阶无穷小时为r dr dθ（即极坐标系中的面积元素），于是得

dv = r dr dθdz，这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据r，θ，z在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。例1 利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域。，其中Ω是由曲面z = x+y与平面z = 4所

22解 把闭区域Ω投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22内任取一点（r，θ），过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z = x+y穿入Ω内，然后通过平面z = 4穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 来表示。于是

9.4.2 利用球面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段看自x轴按逆时针方向转到有向线段

与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来的角，这里P为点M在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 0 ≤ r

φ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； θ = 常数，即过z轴的半平面。点M的直角坐标与球面坐标的关系为

（3）

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r = 常数，φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面体的体积。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为r sinφdθ，向径方向的高为dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。

要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r对φ及对θ的三次积分。若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r = r（φ，θ），则。

当积分区域Ω为球面r = a所围成时，则。

特别地，当F（r，φ，θ）= 1时，由上式即得球的体积，这是我们所熟知的。

例2 求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积。解 设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。因为立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 来表示，所以

在三重积分的应用中也可采用元素法。

设物体占有空间闭区域Ω，在点（x，y，z）处的密度为ρ（x，y，z），假定这函数在Ω上连续，求该物体的重心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样，应用元素法可写出

等，其中为物体的质量。

例3 求均匀半球体的重心。

解 取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 来表示。2222显然，重心在z轴上，故。，其中为半球体的体积。

因此，重心为。