高等数学教案Word版第一章2_高等数学教案第一章

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第二讲(4课时)Ⅰ.授课题目（章节）

§1.2 数列的极限 §1.3 函数的极限 Ⅱ.教学目的与要求

1.理解数列极限与函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的N,,X定义中的,N,,X的含义

2.理解极限的性质 Ⅲ.教学重点与难点：

重点：数列极限与函数极限的概念 难点：极限的定义 Ⅳ.讲授内容：

§1.1数列极限的定义 一． 列极限的定义

定义：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时,不等式xna都成立,那么就常数a是数列xn的极限,或者称数列xn收敛与a,记为limxnna或xna(n).如果不存在这样的常数a,就说数列xn没有极限,或者说数列xn是 发散的,习惯上也说lim存在.143n(1)例1.证明数列2，，,234nn1xnn不,的极限是1.证:xna1n1n1n(1)nn111n,为了使xna小于任意给定的正数,只要或.所以,n(1)10,取N,则当n>N时,就有

nn1

n例2.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限是0.证:0（设,1),因为

xn0qn10qn1,要使xn0,只要qn1取自

lnlnq然对

数,得(n1)lnqln.因q1,lnq0,故n1,取N1ln,则当nN时,lnq就有qn10,即limqn10.n

二． 敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）：如果xn收敛，则它的极限唯一

证明 用反证法.假设同时有xna及xnb,且ab.取limxna,故正整数N1,当nN1时,不等式xnanab2.因为

ba2都成立.同理,因为

ba2limxnb,故正整数N2,当nN2时,不等式xnbn都成立.取NmaxN1,N2(这式子表示N是N1和N2中较大的那个数),则当nN时,(2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有xn这矛盾证明了本定理的断言.数列的有界性概念

ab2,由(3)式有xnab2，这是不可能的.定义：对于数列xn,如果存在着正数M,使得对于一切xn都满足不等式xnM,则称数列xn是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列xn是无界的.定理2（收敛数列的有界性）如果xn收敛，则数列xn一定有界 定理3：（收敛数列的保号性）

如果limxna且a>0（或a0，当n>N时，都有xn>0（或xn

n推论：如果xn从某项起有xn0（或xn0）且limxna,则a0(或a0)

n子数列的概念：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列(或子列).设在数列xn中,第一次抽取xn,第二次在xn后抽取xn,第三次在xn后抽取

1122xn3,这样无休止地抽取下去,得到一个数列xn,xn,xn,,这个数列xn就是

12kxn的一个子数列.定理4.（收敛数列与其子数列间的关系）

如果xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a §1.3 函数的极限

一、函数极限的定义

1.自变量趋于有限值时函数的极限

定义1：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式0xx0时,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)A,那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限,记作limf(x)A或f(x)A(当xx0).xx0例1.证明limx1x12x12

证明:这里,函数在点x=1是没有定义的饿，但是函数当x1是的极限存在或不存在与它并无关系.事实上,0,不等式x1x12约去非零因子x-1，就化为

x12x1，因此，只要取，那么当0x1时，就有

x1x12 2

所以 limx1x12x12 单侧极限的概念：上述xx0时函数f(x)的极限概念中，x是既从x0的左侧也从x0的右侧趋于x0的.但有时只能或只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0(记作xx0)的情形,或x仅从x0的右侧趋于x0(记作xx0)的情形.在xx0的情形,x在x0的左侧,xx0.在limf(x)A的定义中,把0xx0改为x0xx0,那么xx0A就叫做函数f(x)当xx0时的左极限,记作limf(x)A或f(x0)A.xx0类似的,在limf(x)A的定义中,把0xx0改为x0xx0,那么A就xx0叫做函数f(x)当xx0时的右极限,记作limf(x)A或f(x0)A.xx0右极限与左极限统称为单侧极限.解:仿例3可证当x0时f(x)的左极限limf(x)lim(x1)1

xx0x0而右极限limf(x)lim(x1)1, xx0x0因为左极限和右极限存在但不相等,所以limf(x)不存在.x0

2.自变量趋于无穷大时函数的极限

定义2：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式xX时,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)A,那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限,记作limf(x)A或f(x)A（当x）.x定义2可简单地表达为:limf(x)A0,X0,当xX时有

xf(x)A.例3:证明lim1xx0.证：0,要证X0，当xX时，不等式1x1x0成立.因这个不等式相当于或x1

由此可知,如果取X1,那么当xX1x1时,不等式1x0成立.这就证明了limx0.一． 数极限的性质：

定理1（函数极限的唯一性）：如果limf(x)存在，则这极限必唯一

xx0定理2（函数极限的局部有界性）:如果limf(x)A,那么存在常数M>0和0,xx0使得当0xx0时，有f（x）M.证:因为limf(x)=A,所以取=1,则0,当0xx0时,有xx0f（x）A1f(x)f(x)AAA1, 记MA1,则定理2就获证明.定理3（函数极限的局部保号性）:如果limf(x)A,而且A0(或A0),那么存

xx0在常数0,使得当0xx0时,有f(x)（或0f（x）0).如果limf(x)=A，而且A>0（或A0，使得当0xx0时，xx0有f(x)>0(或f(x)

xx0A0(或A0), 定理4（函数极限与数列极限的关系）

如果极限limf(x)存在，xn为函数f(x)的定义域内任意收敛于x0的数列，且满xx0足：xnx(nN)，那么相应的函数列f(xn)必收敛，且limf(xn)limf(x)

0nxx0Ⅴ.小结与提问：

小结：极限定义是本讲的难点，必须结合极限的直观描述和集合解释弄懂其本质。要逐步掌握放大法的技巧。提问：

思考题1：数列xn是否可以同时以A和B（AB）为其极限？

思考题2：如果数列xn与ixnj为数列xn的两个子列，nlimxniA,limxnjB且AB，能否判定limxn不存在？

jxjn思考题3：如果x2n和x2n1都以A为极限，是否必定有limxnA

nⅥ.课外作业：

P30 2.3（2）（3）.4.5 P37 1（1）（4）2（1）3.4.6

设