高等数学教案Word版(同济)第二章8_高等数学上教案同济版

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习题课

I 教学目的与要求：

1.掌握好导数的定义，会用导数的定义解决函数的可导性;2.熟练掌握复合函数的求导，熟练掌握隐函数的求导方法;3.熟练掌握参数方程的求导方法.II 典型方法与例题: 1.用导数的定义求极限

例1 设 f(x)在xa的某个邻域内有定义，则f(x)在xa处可导的一个充分条件是（）

1hhf(a2h)f(ah)（B）lim

h0hf(ah)f(ah)（C）lim

h02hf(a)f(ah)（D）lim

h0h（A）limh[f(a)f(a)]

分析

（D）

2.用导数定义解函数在某点处的导数

例2 设f(x)(abx)(abx)，其中的(x)在xa处可导，求f(0)解 知f(0)(a)(a)0

因为只说明的(x)在xa处可导，没说明的(x)在x0处是否可导，解f(0)时必须用导数的定义

f(x)f(0)(abx)(abx)limx0x0x0x0[(abx)(a)][(abx)(a)]limx0x(abx)(a)

lim

bx0bx(abx)(a)limbx0bxb(a)b(a)2b(a)f(0)lim3.用导数定义解函数方程 设f(x)在(0,)的上有定义，且f(1)a(0)，又x,y(0,)，有f(xy)f(x)f(y)，解f(x)

解

在f(xy)f(x)f(y)让y1，得

f(x)f(x)f(1)

f(1)0

f(xxy)f(x)f(x)f(1y)f(x)limy0y0xyxy

f(1y)f(1y)f(1)11limlimf(1)y0y0xyyxxf(x)lim即

f(x)a(f(1)a)xf(x)alnxC

让x1，得

f(1)aln1C

因此 f(x)alnx

复合函数的导数

复合函数求导的关键是分析复合函数的复合关系，从处层到里层一层一层地求导，既不重复，又不遗漏

1xsin,x0,例4 讨论函数f(x) x0,x0在x0处的连续性与可导性

解 知 limxsinx010f(0)x函数xsin又有 1在x0的处连续的 xf(0)limx0f(x)f(0)x0 1xsin01xlimlimsinx0x0xx而 limsinx01不存在 x函数f(x)在x0处不可导 函数f(x)在x0处连续，不可导

3xacos,例5 求函数 3yasin;dyd2y的一阶导数及二阶导数2

dxdx解 函数的一阶导数dytan dxd2y1sec4csc 函数的二阶导数23adxIII 课外作业：

P124 9（1）11 12 15