推理与证明13.2 直接证明与间接证明(教案)_推理与证明教案及说明

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响水二中高三数学（理）一轮复习

教案第十三编推理与证明主备人张灵芝总第67期

§13.2 直接证明与间接证明

基础自测

1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.答案充分 2.若a＞b＞0,则a+答案＞

3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.①反证法 答案②

4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.①假设a、b、c都是偶数；②假设a、b、c都不是偶数

③假设a、b、c至多有一个偶数；④假设a、b、c至多有两个偶数 答案②

5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.； 答案充要

②分析法

③综合法

1b

b+

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

例题精讲

例1设a,b,c＞0,证明：

a

2b



b

2c



c

a

≥a+b+c.a

证明∵a,b,c＞0，根据基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,c

c

a

+a≥2c.三式相加：

b

+

b

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).即

1a

b

+

b

c

1a

+

a

≥a+b+c.例2（14分）已知a＞0,求证： a2证明要证a2

1a

-2≥a+

1a

-2.1a

-2≥a+

1a

-2,只要证a2

+2≥a++2.2分

∵a＞0,故只要证



a



1a

12≥（a++a

2）,2

6分

427

即a+

1a

+4a2

1a

+4≥a+2+



1a

+22a





1

+2, a

8分

从而只要证2a2

只要证4a

1a

≥2a

1

,a

10分

1112

≥2（a+2+）,即a2+≥2,而该不等式显然成立，故原不等式成立.14分 222aaa

例3若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证：证明假设

1xy

1xy

＜2与

1xy

1yx

＜2中至少有一个成立.1yx

＜2和

1yx

＜2都不成立，则有≥2和≥2同时成立，因为x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y＞2相矛盾，因此

1xy

＜2与

1yx

＜2中至少有一个成立

.巩固练习

1.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2＞abc(a+b+c).证明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c为互不相等的非负数，∴上面三个式子中都不能取“=”，∴a+b+c＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc2,ab+ac≥2a2bc,又a,b,c为互不相等的非负数，∴ab+bc+ac＞abc(a+b+c),∴a2+b2+c2＞abc(a++c).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式a



2511

证明要证ab≥

4ab



2511

b≥

4ab

.,只需证ab+

a

bab



1≥

54，只需证4(ab)+4(a+b)-25ab+4≥0,只需证4(ab)+8ab-25ab+4≥0, 只需证4(ab)2-17ab+4≥0,即证ab≥4或ab≤而由1=a+b≥2ab,∴ab≤

14,只需证ab≤



14，成立.显然成立，所以原不等式a

2511

b≥

4ab

3.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明方法一假设三式同时大于，即(1-a)b＞

4,(1-b)c＞

14,(1-c)a＞

14,428

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞同理（1-b）b≤

41aa

.又(1-a)a≤642

=

14，(1-c)c≤

14,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,这与假设矛盾，故原命题正确.14

2方法二假设三式同时大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1a)b

≥(1a)b＞=,同理

(1b)c

＞

12,(1c)a

＞

12,三式相加得

＞

32,这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确

.回顾总结知识 方法

思想

课后作业

一、填空题

1.（2008·南通模拟）用反证法证明“如果a＞b,那么a＞b”假设内容应是.答案a=b或a＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

b

2,q=logc



1a



，则p,q的大小关系

3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序号是.①（a*b）*a=a ③b*(b*b)=b答案②③④

②［a*(b*a)］*(a*b)=a ④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）

429

答案锐角钝角

5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正确命题的序号是

.答案①

6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）

答案②③

二、解答题

7.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，„），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,„)，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=

an2

n

(n=1,2,„),求证：数列{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.（1）证明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,„), 即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,„),∴bn+1=2bn.由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.430

（2）证明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n.∵cn=

an2

n

(n=1,2,„),∴cn+1-cn=

an12

n1

an2

n

=

an12an

n1

=

bn2

n1

.将bn=3·2n-1代入得

cn+1-cn=(n=1,2,„),由此可知，数列{cn}是公差为

a12

34的等差数列，它的首项c1==

12，故cn=

n-

(n=1,2,„).-2

（3）解∵cn=n-=

(3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n(n=1,2,„)

当n≥2时，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也适合于此公式，所以{an}的前n项和公式为Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.证明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c为任意三角形三边长，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S ∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证：（1）a2+b2+c2≥

;(2)3a2+ 3b2+3c2≤6.13

证明（1）方法一a2+b2+c2-13

=

(3a2+3b2+3c2-1)=

［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］

=(3a+3b+3c-a-b-c-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)+(b-c)+(c-a)］≥0∴a+b+c≥

.方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥

1313

.方法三设a=∴a+b+c=（+,b=

+,c=

+.∵a+b+c=1,∴++=0

+）+（+）+（+）=

+

(++)+++

222

431

=

+2+2+2≥

∴a2+b2+c2≥

.=

3a32

(2)∵3a2=(3a2)1≤

3a21,同理3b2≤

3b32,3c2≤

3c32

∴3a2+3b2+3c2≤

x2x1

3(abc)9

=6∴原不等式成立.10.已知函数y=ax+(a＞1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.证明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,由于a＞1,∴ax2x1＞1且ax1＞0, ∴a∴

x2

-ax1=ax1(ax2x1-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,-x12x11

x22x21

=

(x22)(x11)(x12)(x21)

(x11)(x21)x22x21

=

3(x2x1)(x11)(x21)

＞0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x12x11

＞0,故函数f(x)在(-1,+∞）上为增函数.x02x01

（2）方法一假设存在x0＜0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则ax0=-∵a＞1,∴0＜ax0＜1,∴0＜-x02x01

.＜1,即

＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.方法二假设存在x0＜0(x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则②若x0＜-1,则

x02x01

＜-2,ax0＜1,∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.x02x01

＞0,ax0＞0,∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.432