线性代数教案第一章_线性代数第一章教案

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线性代数教案第一章 第一章 行列式（12学时）

教学时数：12学时

教学目的与要求：理解并掌握行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理，行列式的计算，克莱姆法则解方程组。

教学重点：行列式的性质，行列式按行（列）展开，克莱姆法则解方程组。教学难点：行列式按行按列展开。本章主要阅读文献资料：

1.吴赣昌主编，《线性代数》(第4版)，中国人民大学出版社，2008年2月。2.戴斌祥主编，《线性代数》，北京邮电大学出版社，2005年10月。3.陈维新主编，《线性代数》（第二版），科学出版社，2010年8月。

4.赵树嫄主编，《线性代数学习与考试指导》，中国人民大学出版社，2008年5月。

教学内容：

第一节 二阶与三阶行列式

一．二阶行列式

引入新课：

我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为

（1）

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当

时，有

（2）这就是二元方程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。

（一）定义：我们称记号

为二阶行列式，它表示两项的代数和：

即定义

（3）

二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有

如果将D中第一列的元素a11，a21 换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1 的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a a b2，12，22 换成常数项b1，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为

其中D≠0

例1 计算51=5×2-（-1）×3=13 32例2 设D231

问：(1)当λ为何值时D=0(2)当λ为何值时D≠0 解：D231=23

(1)当λ=0或3时，D=0(1)当λ≠0且λ≠3时，D≠0

二.三阶行列式

含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为

（1）

还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当

时，有

（2）

这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。

（二）定义： 我们称记号

为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有

同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项得到另外三个三阶行列式，分别记为

于是有

就可以

按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3 的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。

123例3 405

106解：原式=-58 例4 实数a，b满足什么条件时

ab0ba00 101ab0解：ba0a2b2

a，b为实数，若要a2b20，则a，b需同时等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要条件是什么？

411a10a10解：1a0=a21，即a＞1时，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要条件a＞1 411作业：课本35页，1,2,3,4,5