抛物线上存在性问题的探究教案_抛物线中的存在性问题

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抛物线上存在性问题的探究教案

一、教学目标

1、通过本节课的复习，进一步提高学生运用二次函数、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决问题的能力。2能从数和形的角度探究抛物线上图形的若干综合问题

二、重点和难点

重点：利用抛物线上的图形的特性，如何将问题转化为基本的数学问题

难点：根据题意找出能使四边形转变成平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件。

三、教学过程

一、平行四边形与抛物线

1、（2012•钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．（1）求抛物线对应的函数解析式；

（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；

（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x=﹣

．）

1、解：（1）由于抛物线y=x+bx+c与y轴交于点B（0，4），则 c=4； ∵抛物线的对称轴 x=﹣∴b=5a=；

2=﹣，即抛物线的解析式：y=x+x+4．

（2）∵A（4，0）、B（3，0）∴OA=4，OB=3，AB=

=5；

若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）． 将C（﹣5，3）代入y=x+

2x+4中，得：×（﹣5）+

2×（﹣5）+4=3，所以点C在抛物线上；

同理可证：点D也在抛物线上．

（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：，解得

∴直线CD：y=﹣x﹣． 由于MN∥y轴，设 M（t，t+

t+4），则 N（t，﹣t﹣）；

2①t＜﹣5或t＞﹣1时，l=MN=（t+t+4）﹣（﹣t﹣）=t+t+

； ； ②﹣5＜t＜﹣1时，l=MN=（﹣t﹣）﹣（t+t+4）=﹣t﹣t﹣

2若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∥CE，则MN=CE=3，则有： t+t+

二、2=3，解得：t=﹣3±2梯形与抛物线；

1、已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；

（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1、解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OB=4，OA=2；

由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3； ∴C点坐标为（，3）．

（2）∵抛物线y=ax+bx（a≠0）经过C（∴，2，3）、A（2，0）两点，解得；

2∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x+2

（3）存在．

2x．

因为y=﹣x+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t； 因为∠BOA=30°，所以ON=t，∴P（t，t）；

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；

2把x=t代入y=﹣x+2x，2得y=﹣3t+6t，22∴M（t，﹣3t+6t），E（，﹣3t+6t），同理：Q（，t），D（，1）；

2.（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？.解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==

=4，∴OC=OP+PC=4+4=8，又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．

（2）结论：△AEF的面积S不变化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，∴，即，解得CE=

．

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t． S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE =[4+（8﹣t）]×8+（8﹣t）•

﹣×4×（8+）

化简得：S=32为定值．

所以△AEF的面积S不变化，S=32．

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF． 由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，∴，即，化简得t﹣12t+16=0，2解得：t1=6+2，t2=6﹣2，由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去． ∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．

三、等腰三角形、菱形与抛物线

1、（2012•龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C

；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M． ①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1、解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA•tan60°=1×=，OB=OC•cot30°=×=3，所以，点B（3，0），C（0，），2设抛物线解析式为y=ax+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣

（2）①∵△OCE∽△OBC，∴即==，x+

2x+；

解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2时，△OCE∽△OBC；

②存在．理由如下： 抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1，所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC=60°，又∠DEF=60°，∴∠FEB=60°，∴∠BAC=∠FEB，∴EF∥AC，由A（﹣1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y=∵点E（1，0），∴直线EF的解析式为y=x﹣，x+，联立，解得，），（舍去），∴点M的坐标为（2，EM=

=2，分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，当PE=EM时，PE=2，所以，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2），当PE=PM时，∵∠FEB=60°，∴∠PEF=90°﹣60°=30°，PE=EM÷cos30°=×2÷

=，），=

2，所以，点P的坐标为（1，当PM=EM时，PE=2EM•cos30°=2×2×所以，点P的坐标为（1，2），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，﹣2）或（1，使△PEM是等腰三角形．）或（1，2），四、直角三角形与抛物线

与x轴交于A、B两点

1、（2012•广州）如图，抛物线y=（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

1、解：（1）令y=0，即

=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．

（2）S△ACB=AB•OC=9，在Rt△AOC中，AC=

=

=5，．，这样的直线有2条，分设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D． 设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，∴CE==．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，∴直线AC解析式为y=x+3．

直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣． 则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣4，）．）同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）．

（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条． 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N． ∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3． 又FE=5，则在Rt△MEF中，ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．，在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×=FN=MN•cos∠MFE=3×=，则ON=，∴M点坐标为（，直线l过M（，）），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3．

x﹣3．

x﹣3． 同理，可以求得另一条切线的解析式为y=综上所述，直线l的解析式为y=

五、相似三角形与抛物线

x+3或y=

1、（2012•福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

1、解：（1）∵抛物线y=y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴，解得：

∴抛物线的解析式是y=x

2﹣3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1 ∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2

﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．

方法一：

如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．，），将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（综上所述，点P的坐标是（六、抛物线中的翻折问题，）或（，）．

1、（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

1、解：（1）∵抛物线y=ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，2∴，解得：

∴y=﹣x+x+2；

当y=2时，﹣x+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能： ①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2），②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式：﹣x+x+2=﹣2 解得：x1=，x2=，﹣2），（，﹣2），﹣2）．

222∴P点的坐标为（综上所述：p1（0，2）；p2（，﹣2）；p3（（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a+a+2），2①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=2﹣（﹣a+a+2）=a﹣a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，2

2∴△COQ′～△Q′FP，∴Q′F=a﹣3，，∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′=此时a=，点P的坐标为（，），2=，②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，﹣a+a+2＜0，CQ=﹣a，PQ=2﹣（﹣a+a+2）=a﹣a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，2

2∴△COQ′～△Q′FP，∴OQ′=3，CQ=CQ′=此时a=﹣，，Q′F=3﹣a，点P的坐标为（﹣，）．），（﹣，）． 综上所述，满足条件的点P坐标为（2、（2010•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．