高等数学电子教案12_高等数学电子教案

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高等数学教案 第十二章 无穷级数

第十二章

无穷级数

教学目的：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。

4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。

7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，了解函数项级数和函数的性质。

8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9、会利用幂级数的性质求和

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。

13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。

14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。

15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。教学重点 ：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数

5、函数展开成傅立叶级数。教学难点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

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4、泰勒级数；

5、函数展开成傅立叶级数

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§12 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项无穷级数 一般地，给定一个数列

u1 u2 u3    un   

则由这数列构成的表达式

u1  u2  u3     un    

叫做（常数项)无穷级数 简称（常数项)级数 记为un 即

n1

unu1u2u3    un    

n1其中第n项u n 叫做级数的一般项



级数的部分和 作级数un的前n项和

n1n

snuiu1u2u3    un

i1称为级数un的部分和

n1级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s

n1即

limsns

n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和

n1并写成

sunu1u2u3    un    

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散

n1n1n

1余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值

rnssnun1un2   

叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

aqnaaqaq2    aqn   

n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解： 如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

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所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散

1qn0n0n

仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a

1q

例2 证明级数

135  （2n-1）   是发散的

证 此级数的前n项部分和为

n(21n)n

sn135    ( 

显然 limsn 因此所给级数是发散的

n

例3 判别无穷级数

1111       

122334n(n1)的收敛性

解 由于

un因此

sn1111     122334n(n1)111

n(n1)nn1

(1)()    (从而

limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1

n1所以这级数收敛 它的和是1

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提示 un 111

n(n1)nn1

二、收敛级数的基本性质

n1n

1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收敛

且其和为ks

证明： 设un与kun的部分和分别为sn与n 则

n1n1

limnlim(ku1ku2    kun)klim(u1u2    un)klimsnks

nnnn这表明级数kun收敛 且和为ks

n1表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。

性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为s

n1n1n1

证明： 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则

n1n1n1

limnlim[(u1v1)(u2v2)    (unvn)]

nn

lim[(u1u2    un)(v1v2    vn)]

n

lim(snn)s

n表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

加一项后级数9895112123134    1n(n1)    也是收敛的

减一项后级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变

n1注意 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

（11)+（11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件



性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

证 ： 设级数un的部分和为sn 且limsns 则

n1n

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

n0nnn

注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例如

调和级数

11111       

23nn1n1n尽管它的一般项limn0，但它是发散的

因为

假若级数1收敛且其和为s sn是它的部分和

nn1显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

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s2nsn1n1111111        

n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数1必定发散

nn1n§12 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：

定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界

n1证

设级数

u1 u2     un    

是一个正项级数。其部分和为sn

显然sn是一个单调增加数列，若部分和数列sn有界 则根据单调有界数列必有 极限的准则，可知级数un收敛；反之 若级数un收敛，则部分和数列sn有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知{sn}有界

n1n1n1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2   ) 若级数vn收n1n1n1敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

snu1u2    unv1 v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛

n1n1n反之 设级数un发散 则级数vn必发散

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n1n1因为若级数vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

n1n1n1

推论

设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时有n1n1unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立

则级数un发散

n1

例1 讨论p级数



n1111111       

np2p3p4pnp的收敛性 其中常数p0

111解 设p1 这时p 而调和级数发散 由比较审敛法知

nnn1n当p1时级数n11发散

pn

设p1 此时有

nn111111dxdx[p1](n2, 3,   )

pppp1n1nn1xp1(n1)nn对于级数[n211p1] 其部分和 p1(n1)n1][p112p1]    [p111np111]1

p1p1(n1)(n1)

sn[123因为limsnlim[1nn1]1

(n1)p1111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当]pp1p1nn2(n1)n1n青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

p1时收敛

综上所述 p级数1p当p1时收敛 当p1时发散

n1n提示 级数[n211]的部分和为

(n1)p1np112p1

sn[112p1][13p1]    [1np111

]1p1(n1)(n1)p1因为limsnlim[1nn1]1

(n1)p1所以级数[n211]收敛

(n1)p1np1

p级数的收敛性

p级数n11当p1时收敛 当p1时发散

pn

例2 证明级数n11n(n1)是发散的

证 因为1n(n1)1(n1)21

n1而级数n11111        是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

定理3(比较审敛法的极限形式)n1n1

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛

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(2)如果limnunvnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散

证明 由极限的定义可知 对1l 存在自然数N 当nN时 有不等式 lu1113lnll

即lvnunlvn

222vn2再根据比较审敛法的推论1 即得所要证的结论



例3 判别级数tann11n的收敛性

tan1

解 因为 limnn1 而级数1发散

1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数tann11n发散

例4 判别级数n11(2n1)(2n1)的收敛性

11(2n1)(2n1)1 而级数2收敛

解 因为 limn14n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数n11(2n1)(2n1)收敛

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)

若正项级数un的后项与前项之比值的极限等于

n1

limnun1un

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则

当1时级数收敛

当1(或limnun1un)时级数发散

当 1时级数可能收敛也可能发散

例5 证明级数1是收敛的

解 因为 limn1111        112123123   (n1)un1un limn123   (n1)123    n limn101

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

例6 判别级数112123n!2        的收敛性

3n10101010

解 因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim

n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散



例7 判别级数n112n(2n1)的收敛性

解 limnun1un limn2n(2n1)(2n1)(2n2)1

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性

因为

定理5(根值审敛法 柯西判别法)1(2n1)2n1n2 而级数n11收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

n

2设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散

当1时级数可能收敛也可能发散

例8 证明级数11213    1n    是收敛的

23n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解 因为 limnnun limnn11 lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为

|rn|



111   

(n1)n1(n2)n2(n3)n3111    

n1n2n3(n1)(n1)(n1)1

nn(n1)

例9 判定级数n12(1)n2n的收敛性

解 因为 limnnunlim1n12(1)n

2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散

nnn1

(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛

nn1

例7 判定级数ln(1n11)的收敛性

n2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

解 因为ln(112)~12(n) 故

nn

limn2unlimn2ln(112)limn2121

nnnnn根据极限审敛法 知所给级数收敛

例8 判定级数n1(1cos)的收敛性

n1n

解 因为 limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()

n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的



交错级数的一般形式为 (1)n1n1nun 或(1)un 其中un0

n1

例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数

是交错级数 但(1)n1nnn1

定理7（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足条件

n1

(1)unun1(n1 2 3   )

(2)limun0

n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

证明 设前2n项部分和为s2n

由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)

及

s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛

设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1

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因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1

例9 证明级数(1)n11 收敛 并估计和及余项

n1n

证

这是一个交错级数 因为此级数满足

(1)un11un1(n1, 2,  )

(2)limunlim10

nn1nnn由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1

1三、绝对收敛与条件收敛

n1n1n1

绝对收敛与条件收敛 若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛

n1n1n1若级数un收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛

例如 级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的

(1)nn2n1n1n1定理8 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛

证明略

n1n

1注意 如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散



但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数



例11 判别级数n1sinnan1n44的收敛性

解 因为|sinnan4| 而级数n11n4是收敛的

所以级数|n1sinnan4|也收敛 从而级数n1sinnan4绝对收敛

2例12 判别级数(1)n1n(11)n的收敛性

n12n

解 由|un|11n2n|u|1lim(11)n1e1

 有(1)limnn2nn2n2n可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散

n2n

§ 12 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列：

u1(x)，u2(x)，u3(x)，     un(x)    由这函数列构成的表达式

u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)   

称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称

n1点x0是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(x0)发散 则称

n1n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

点x0是级数un(x)的发散点。

n1函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域

n1

所有发散点的全体称为它的发散域

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)

n1n1

∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述

n1

在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)

这函数的定义就是级数的收敛域。

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

rn(x)s(x)sn(x)n1叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幂级数及其收敛性

幂级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数

这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

a0a1xa2x    anx    

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数

例如一下级数

1xx2x3    xn     

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2n高等数学教案 第十二章 无穷级数

1x121x    xn    

2!n!2

n

注 幂级数的一般形式是

a0a1(xx0)a2(xx0)    an(xx0)    

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

幂级数

1xx2x3    xn    

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的

因此它的收敛域为(1 1) 在收敛域内有

11xx2x3    xn    

1x由此例可得：

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式

n0|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当xx0时发散

n0则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

证

先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件

n0n0n有limanx00 于是存在一个常数M 使 nn| anx0n |M(n0, 1, 2,   )

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxxnn||anx0|||nM||n

x0x0x0|anxnn||anx0xn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anxn|收敛

x0n0n0也就是级数n0anxn绝对收敛

定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证

推论

如果级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个n0完全确定的正数R存在 使得

当|x|R时 幂级数绝对收敛

当|x|R时 幂级数发散

当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散

收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数数n0anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级

n0anxn的收敛区间 再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数n0anxn的收敛域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一

n

规定 若幂级数anx只在x0收敛 则规定收敛半径R0  若幂级数anxn对一切x都n0n0收敛 则规定收敛半径R 这时收敛域为(, )

关于幂级数的收敛半径求法，有下列定理：

定理2 如果lim|nan1an| 其中an、an1是幂级数anxn的相邻两项的系数

n0则这幂级数的收敛半径

  01 0

R0 

简要证明 lim|nan1xn1anxn|lim|nan1an||x| |x|

(1)如果0 则只当|x|1时幂级数收敛 故R

(2)如果0 则幂级数总是收敛的 故R

1

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(3)如果 则只当x0时幂级数收敛 故R0

例1 求幂级数(1)n1n1xn的收敛半径与收敛域

n1a

解

因为 lim|n1| limn11

nan1nn所以收敛半径为R11



当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

n

1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

nn1

例2 求幂级数1x1nx n!n012131的收敛域

xx    xn    2!3!n!

1a(n1)!n! lim0

解

因为 lim|n1|  limnann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数n!xn的收敛半径

n0

解 因为

 lim|nan1an|  lim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解 级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

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幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2

当4|x|1即|x|21112时级数收敛 当4|x|1即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]!(n!)22提示

un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2

x2n

例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域

n1tn

解 令tx1 上述级数变为n

n12n

因为  lim|nan1an2nn1| n1

2(n1)2所以收敛半径R2

(1)1

当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛

nnn1n1因此级数tn的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3

nn12n所以原级数的收敛域为[1, 3)

三、幂级数的运算

设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有

加法 ∑anx∑bnx ∑(anbn)x 

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

乘法(anx)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2   

nn0n0nn

n(a0bna1bn1    anb0)x   

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 n高等数学教案 第十二章 无穷级数

 除法：n0n0anxxnnnbcn0nx nnnx与cnx相乘，然后比较

n0n

这里假定b00。为了决定系数cn，可以将

bn0与anxn的同次幂项系数得出。

n0关于幂级数，有以下的重要性质

性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续

性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

n0

0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00xanxdxnn0n1anxn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x|R)

n1n逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解 求得幂级数的收敛域为[1 1)

设和函数为s(x) 即s(x)

在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1

n0n11n1x的两边求导得 n1n0

[xs(x)]n0(11xn1)xn

n11xn0对上式从0到x积分 得

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xs(x)1dxln1(x)

01xx1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x

x 1 x0x11n

1因为xs(x)x[xn1]dx

0n0n1n0n1

x0n0xndx1dxln1(x)

01xx所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)

x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0提示 应用公式F(x)dxF(x)F(0) 即F(x)F(0)F(x)dx

0011xx2x3    xn     1xxx

例7 求级数(1)nn1的和

n0

解

考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

n0n1函数为s(x) 则s(1)(1)nn1

n0(1)11ln

在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n

§12 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)

以前学过泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

f(n1)f(x0)2!(xx0)2   

f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)

泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)    

f(n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数

f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n

f(x0)3!(xx0)    3f(n)(x0)n!(xx0)n   

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)

但是 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)? 对此，有以下定理：

定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即

nlimRn(x)0(xU(x0))

证明

先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n    

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)

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在泰勒级数中取x00 得

f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

f(x)a0a1xa2x    anx    

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x   nanx    

f (x)2!a232a3x     n(n1)anxn2     

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3     

  

  

  

  

  

f(n)(x)n!an(n1)n(n1)   2an1x     

于是得

a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!2n12n

    anf(n)(0)n!   

注意 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察

二、函数展开成幂级数

展开步骤

第一步

求出f(x)的各阶导数 f (x) f (x)     f(n)(x)    

第二步

求函数及其各阶导数在x0 处的值

f(0) f (0) f (0)     f(0)    

第三步

写出幂级数

f(0)f(0)x并求出收敛半径R

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组(n)f(0)2!x    2f(n)(0)n!xn     高等数学教案 第十二章 无穷级数

第四步

考察在区间(R R)内时是否Rn(x)0(n)

limRn(x)limnf(n1)()n(n1)!xn

1是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   (RxR)

例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数

解 所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2   ) 因此f

1x1x2    1xn   

2!n!(n)

x

(n)

(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

n1en1|x||x|x| e

|Rn(x)| |

(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式 而 limn(n1)!n

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数

解 因为f(n)(n)(x)sin(xn )(n1 2

  )

2所以f(0)顺序循环地取0 1 0 1   ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

2n1x3x5n1x    (1)   

x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| ||x|n1| 0(n )

(n1)!因此得展开式

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

sinxxx3x5x2n1    (1)n1   (x)

3!5!(2n1)!2!n!

ex1x1x2    1xn   (x)

例3 将函数f(x)(1 x)展开成x的幂级数 其中m为任意常数

解 f(x)的各阶导数为

f (x)m(1x)m1

f (x)m(m1)(1x)

        

f(n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn

        

所以

f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f(n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)    于是得幂级数

1mx可以证明

(1x)m1mx

间接展开法

例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数

解

已知

2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!m2m

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn    

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

对上式两边求导得

2nx2x4nx    (1)   (x)

cosx12!4!(2n)!

例5 将函数f(x)

解 因为1展开成x的幂级数

21x11xx2    xn   (1x1)

1x2把x换成x 得

11x2x4    (1)nx2n   (1x1) 21x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

注 收敛半径的确定 由1x1得1x1

例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数

分析 因为f(x)1

1x2而1是收敛的等比级数(1)nxn(1x1)的和函数

1xn0

11xx2x3    (1)nxn    

1x所以将上式从0到x逐项积分 得

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)

234n

1解

f(x)ln(1x)[ln(1x)]dx0xx01dx 1xxn1

[(1)x]dx(1)(1x1)

0n1n0n0xnnn

上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续

例7 将函数f(x)sin x展开成(x

解

因为

sinxsin[并且有

cosx(

sinx(4(x4)的幂级数

4)]2[cos(x)sin(x)]

24444)111(x)2(x)4   (x)

2!44!4)(x4)11(x)3(x)5   (x)

3!45!4所以

sinx

例8 将函数f(x)

解 因为 211[1(x)(x)2(x)3   ](x)

242!43!41展开成(x1)的幂级数

x24x3青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

f(x)111111

x24x3(x1)(x3)2(1x)2(3x)4(1x1)8(1x1)24 nn11n(x1)n(x1)

(1)(1)4n08n02n4n

n0(1)n(12n22n)(x1)(1x3)

2n31提示

1x2(x1)2(1x1)3x4(x1)4(1x1)

24n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n02212n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n04414收敛域 由1

x1x11和11得1x3

24小结：常用的展开式

11xx2    xn   (1x1) 1xex1x121x    xn   (x)

2!n!2n1x3x5n1xsinxx    (1)   (x) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1    (1)   (x) 2!4!(2n)!n1x2x3x4nxln(1x)x    (1)   (1x1) 234n1(1x)m1mxm(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

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§12 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

例1 计算5240的近似值 要求误差不超过00001

解

因为5240524333(114)1/5

3所以在二项展开式中取m1 x14 即得

51114114912403(1428312   )

5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

|r2|3（3

1411491149141   )522!38533!312544!316141112[1()    ] 28818152!3611118

12532527402000018111)

5344于是取近似式为52403(1为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得：

52402.9926

例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001

解

在上节例5中 令 x1可得

ln21111    (1)n1   .23n

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

把展开式

ln1(x)x中的x换成x  得

x2x3x ln(1x)x   (1x1)

234x2x3x4xn1    (1)n   (1x1)234n1两式相减 得到不含有偶次幂的展开式ln1xln1(x)ln1(x)2(xx3x5   )(1x1)

1x35令1x2 解出x1 以x1代入最后一个展开式 得

1x33

ln22(13111111   ) 333535737如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

|r4|2(

111111   )9391***12[1()    ]

99311

2111.11970000031143913111111) 333535737于是取 ln22(同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

1111111 30.01235 50.00082 70.00007 0.333333335373因此得

ln 206931

例3 利用sinxx13 x求sin9的近似值 并估计误差

3!解

首先把角度化成弧度

9从而

1809(弧度)203(弧度)

1sin20203!20 

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其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x 得

20111

sin     20203!205!207!20357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin的20近似值 起误差为

111

|r2| (0.2)55!201203000000.003876 因此取 0.157080 202053于是得

sin9015643 这时误差不超过105 例4 计算定积分

2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001（取x

20.56419）

解： 将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式

ex21(x2)1!n(x2)22!(x2)33!   

x2n

(1)(x).n!n0于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n01

(111146   ).23252!273!2前四项的和作为近似值 其误差为

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|r4|所以

2111

2894!90000122exdx01(1111)0.5295

2232452!2673!

例5 计算积分

01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001

解 由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1

x0x则它在积分区间[0 1]上连续，展开被积函数 有

sinxx2x4x6

1   (x)

x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得

01sinx111dx1    

x33!55!77!因为第四项

11

77!30000所以取前三项的和作为积分的近似值

01sinxxdx1110.9461

33!55!

二、欧拉公式

复数项级数 设有复数项级数

(u1iv1)(u2iv2)   (univn)   

其中un  vn(n1 2 3   )为实常数或实函数 如果实部所成的级数

u1u2     un   

收敛于和u 并且虚部所成的级数

v1v2    vn   

收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv

绝对收敛

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2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛

vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛

n1复变量指数函数 考察复数项级数

1z1z2    1zn    

2!n!可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

ez1z121z    zn    

2!n!x

欧拉公式 当x0时 ziy  于是

eiy1iy

1iy

(111(iy)2    (iy)n    2!n!12111yiy3y4iy5    2!3!4!5!121411yy   )i(yy3y5   )2!4!3!5!

cos yisin y

把y定成x得

eixcos xi sin x

这就是欧拉公式

复数的指数形式 复数z可以表示为

zr(cos isin)re

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角

三角函数与复变量指数函数之间的联系

因为eixcos xi sin x eixcos xi sin x 所以

e+e2cos x

ee2isin x

cosx11ix(eeix) sinx(eixeix)

22i青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 ixixxixi

这两个式子也叫做欧拉公式 高等数学教案 第十二章 无穷级数

复变量指数函数的性质

ez1z2ez1ez2

特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)

也就是说，复变量指数函数ez在zxyi处的值的模为ex，辐角为y的复数。

§12.7 傅里叶级数一、三角级数

三角函数系的正交性

三角级数 级数 a0(ancosnxbnsinnx)

2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n  1 2   )都是常数

三角函数系

1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

cosnxdx0(n1 2   )

sinnxdx0(n1 2   )

sinkxcosnxdx0(k n1 2   )

sinkxsinnxdx0(k n1 2    kn)

coskxcosnxdx0(k n1 2    kn) 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

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12dx2

2cosnxdx(n 1 2   )

sinnxdx2(n 1 2   )

二、函数展开成傅里叶级数

问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

f(x)a02(akcoskxbksinkx)

k1那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则

f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]

k1类似地f(x)sinnxdxbn

傅里叶系数

a0

an

bn11f(x)dx

1(n 1 2   )

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx(n 1 2   )

系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数

a02(ancosnxbnsinnx)

n1称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数

问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的

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定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且

当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x)

当x是f(x)的间断点时 级数收敛于1[f(x0)f(x0)]

2例1 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为

f(x)1 x0 0 x将f(x)展开成傅里叶级数

解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点xk(k0 1 2   )处不连续 在其它点处连续 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 并且当xk时收敛于

11[f(x0)f(x0)](11)0

22当xk时级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

an11f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx1100(1)cosnxdx1101cosnxdx0(n 0 1 2   )



bn

(1)sinnxdx01sinnxdx

1cosnx01cosnx1[][]0[1cosncosn1] nnn4 n1, 3, 5,   2n

[1(1)]n

n0 n2, 4, 6,   于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)4[sinx11sin3x    sin2(k1)x    ]

32k

1(x x 0  2   )

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

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f(x)x x0

0 0x将f(x)展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1)处收敛于

1[f(x0)f(x0)]1(0)

222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

a0an11f(x)dx10xdx1  21xsinnxcosnx01[](1cosn)nn2n2f(x)cosnxdx0xcosnxdx2 n1, 3, 5,    

n2

0 n2, 4, 6,   

bn

1nf(x)sinnxdx1xsinnxdx01[xcosnxsinnx0cosn ]nnn2(1)n1(n 1 2   )

f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x)   (x  x  3   ) 455

周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义

使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).例3 将函数

f(x)x  x0

x 0  x展开成傅里叶级数

解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x)

傅里叶系数为

a0

an11f(x)dx1(x)dx01001xdx

12f(x)cosnxdx(x)cosnxdx0

xcosnxdx4 n1, 3, 5,   

2(cosn1)n2

n0 n2, 4, 6,   

bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2   )

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x) 411(cosx2cos3x2cos5x   )(x)

23

5三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

an0(n0 1 2   )

bn20f(x)sinnxdx(n1 2 3   )

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

bnsinnx

n1

当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3   )

bn0(n1 2   )

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02ancosnx

n1

例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数

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解 首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )不连续

因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点 x(2k1)(k0 1 2   )收敛于

1[f(0)f(0)]1[()]0

2其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是

an0(n0 1 2   ) 而

bn20f(x)sinnxdx20xsinnxdx

nx22

2[xcosnxsin]0cosnx(1)n1(n1 2 3   )

2nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)2(sinx111sin2xsin3x    (1)n1sinnx    23n

(x  x 3    )

例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数

2解 所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)

因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

an20u(t)cosntdt20tEsincosntdt

E011[sinn()tsinn()t]dt

2211cosn()tcosn()tE22]

[011nn22

4E(n0 1 2   )

(4n21)所以u(t)的傅里叶级数展开式为

4E1 u(t)(cosnt)(t)

22n14n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在(0 ]上 有F(x)f(x)

例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数

解

先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 2nnn22 n1, 3, 5,    2n(1cosncosn)



2n n2, 4, 6,   n函数的正弦级数展开式为

x12[(2)sinx2sin2x1(2)sin3xsin4x    ](0x)

34在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 nnn20 n2, 4, 6,    

2(cosn1)4

2 n1, 3, 5,    nn2

a0202x2(x1)dx[x]02

2函数的余弦级数展开式为

x1 4111(cosx2cos3x2cos5x   )(0x)

235§12 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数

到目前为止，我们讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令xlt及f(x)f(lt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数

这是因为F(t2)f[l(t2)]f(lt2l)f(lt)F(t)

于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数

F(t)其中

ana02(ancosntbnsinnt)

n11F(t)cosntdt(n0 1 2   ) bnF(t)sinntdt(n1 2   )

1从而有如下定理

定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

f(x)a0nxnx(ancosbnsin)

2n1ll其中系数an  bn 为

anf(x)cosll

bnf(x)sinll

当f(x)为奇函数时

nx

f(x)bnsin

ln11lnxdx(n0 1 2   )

lnxdx(n1 2   )

l1l其中bn2lnxf(x)sindx(n  1 2   )

l0l

当f(x)为偶函数时

f(x)其中an2la0nxancos

2n1lf(x)cosnxdx(n  0 1 2   )

l0l

例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

f(x)0 2x0(常数k0)

k 0x2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

将f(x)展开成傅里叶级数

解

这里l2，按公式得

an1kcosnxdx[ksinnx]00(n0)

022n2

a010dx1kdxk

2220021

bn22k n1, 3, 5,    nxknx2kksindx[cos](1cosn) n002n2n0 n2, 4, 6,   2于是

x13x15x

f(x)k2k(sinsinsin   )

223252(x x0 2 4

   在x0 2 4    收敛于k)

2pxl 0x2展开成正弦级数

例2 将函数M(x)2p(lx)l xl22

解

对M(x)进行奇延拓 则

an0(n0 1 2 3   )

bnlllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]

l0ll02l2l2l对上式右边的第二项 令tlx 则

l0ptn(lt)22pxnx

bn[sindxlsin(dt)]

l02l2l2ll22pxnxntn12ptsindx(1)sindt]

[002l2ll当n2 4 6   时 bn0 当n1 3 5   时

bn4p2ll202plnxnxsindx22sin

l2n于是得

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数

M(x) 2pl2(sinxl13x15xsin2sin   )(0xl)

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