数项级数教案_级数教案

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《数学分析》教案

第十二章

数

项

级

数

教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz级数，熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。

教学难点：判别法的应用。

主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。

§1 级数的收敛性

1． 级数概念

在初等数学中，我们知道：任意有限个实数u1,u2,,un相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如

111123n

从直观上可知，其和为1。2222又如，1(1)1(1)。

其和无意义； 若将其改写为：(11)(11)(11)

则其和为：0；

若写为：

1[(1)1][(1)1]

则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；

如果存在，和等于什么。

定义

1给定一个数列un，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式

u1u2u3un

（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中un称为级数（1）的通项。级数（1）简记为：2． 级数的收敛性 un1n，或

un。

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记

Snuk1nku1u2un

称之为级数un1n的第n个部分和，简称部分和。

定义若数项级数un1n的部分和数列Sn收敛于S（即limSnS），则称数项级

n数un1n收敛，称S为数项级数

un1n的和，记作

Sun1n=u1u2u3un。

若部分和数列Sn发散，则称数项级数例1 试讨论等比级数（几何级数）

un1n发散。

aqn1n1aaqaq2aqn1，(a0)的收敛性。

例2 讨论级数

1111 122334n(n1)的收敛性。

3． 收敛级数的性质

由于级数un1n的敛散性是由它的部分和数列Sn来确定的，因而也可以认为数项级数

un1n是数列Sn的另一表现形式。反之，对于任意的数列an，总可视其为数项级数

un1na1(a2a1)(a3a2)(anan1)的部分和数列，此时数列an与级数a1(a2a1)(a3a2)(anan1)有 相同的敛散性，因此，有

定理1（级数收敛的Cauchy准则）

注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00，对任何正整数N，总存在正整数

m0(N),p0，有

um01um02um0p00。

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推论

（必要条件）若级数（1）收敛，则

limun0。

n注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3 讨论调和级数

1的敛散性。例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 111 23n1n2收敛。

定理2

若级数un1n与vn1n都有收敛，则对任意常数c,d，级数

(cun1ndvn)也收敛，且

(cun1ndvn)cundvn。

n1n1即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。

定理

3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。

（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。

若级数un1n收敛，设其和为S，则级数

un1un2

也收敛，且其和为

，它代表用Sn代替S时所产生的误差。RnSSn。并称为级数un的第n个余项（简称余项）n1定理在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：(11)(11)(11)000 收敛，而级数

1111 是发散的。

作业：P5 1、2、5 §2 正 项 级 数

一

正项级数收敛性的一般判别原则

同号级数 正项级数

定理12-2-

1正项级数证明：

定理12-2-2（比较原则）设un1n收敛部分和数列Sn有界。

un1n和

vn1n均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对

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nN都有

unvn，则（1）若级数vn1n收敛，则级数

un1n也收敛；

（2）若级数证明： 例1 考察un1n发散，则级数

vn1n也发散。

1的收敛性。2nn1n1推论（比较判别法的极限形式）设

un1n和

vn1n是两个正项级数，若

lim unl，nvn则（1）当0l时，级数

un1n、vn1n同时收敛或同时发散；

（2）当l0且级数vn1nn收敛时，级数

un1nn也收敛；

（3）当l且vn1发散时，级数

un1也发散。

例2 讨论级数 例3 由级数12nn 的收敛性。

11sin的发散性，可知级数nn是发散的。

二

比式判别法和根式判别法

定理12-2-

3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设

un为正项级数，且存在某个正整数N0及常数q(0,1)：

（1）若对nN0，有

un1q，则级数un收敛 ； unun11，则级数un发散。un（2）若对nN0，有

(2)证明：

推论（比式判别法的极限形式）设

un为正项级数，且

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limun1q，nunn则（1）当q1时，级数u收敛；

（2）当q1（可为）时，级数（3）当q1时，级数例4讨论级数

un发散；

11可能收敛，也可能发散。如：，unn2。n225258258[23(n1)] 115159159[14(n1)]的收敛性。例5 讨论级数n1nx(x0)的收敛性。

定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法）

设数N0及正常数l，（1）若对nN0，有（2）若对nN0，有 证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式）设

nun为正项级数，且存在某个正整

unl1，则级数un收敛； un1，则级数un发散。

nun为正项级数，且

limnunl，n则（1）当l1时，级数un收敛；

（2）当l1（可为）时，级数（3）当q1时，级数

un发散；

11可能收敛，也可能发散。如：，unn2。n2(1)n例6 讨论级数 的敛散性。

2n说明：因 limun1qlimnunq

这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别nnun法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。

三

积分判别法

特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。定理12-9 设f(x)为[1,)上非负减函数，则正项级数

f(n)与反常积分1f(x)dx同时收敛或同时发

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散。

证明：由假设f(x)为[1,)上非负减函数，则对任何正数A，f(x)在[1，A]上可积，从而有

f(n)nn1f(x)dxf(n1)，n2,3,

依次相加，得

f(n)n2mmm1f(x)dxf(n1)f(n)

n2n1mm1若反常积分收敛，则对m，有

Sm于是，知

级数

反之，若级数f(n)f(1)f(x)dxf(1)n11m1f(x)dx。

f(n)收敛。

m1n1f(n)收敛，则对任意正整数m(1)，有

mf(x)dxSm1f(n)f(n)S。

又因f(x)为[1,)上非负减函数，故对任何A1，有

0故知，反常积分A1f(x)dxSnS, nAn1。

1f(x)dx收敛。

同理可证它们同时发散。例7 讨论下列级数

11（1）p，（2），（3）pn1nn2n(lnn)1 pn3n(lnn)(lnlnn)的敛散性。作业：P16

1、（1）—（4），2、（1）—（3）

§3 一般 项 级 数

一 交错级数

若级数的各项符号正负相间，即

称为交错级数。

定理12-3-1（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)n1n1un，(un0,n)

(1)n1n1un满足下述两个条件：

（1）数列un单调递减；（2）limun0。

n《数学分析》教案

则级数证明 (1)n1n1un收敛。且此时有(1)n1unu1。

n1推论

若级数(1)n1n1un满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为

Rnkn1(1)n1k1ukun1。

11；（2）(1)n1； n1(2n1)!n1例：判别下列级数的收敛性：（1）

(1)n1（3）

二 绝对收敛级数及其性质 若级数

(1)n1n1n。n10un各项绝对值所组成的级数

un收敛，则称原级数

un绝对收敛。

定理12-3-2 绝对收敛的级数一定收敛。

证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。

说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。例1 对任何实数，级数 n1nn!n是绝对收敛的。

若级数un收敛，但级数n1u发散，则称级数

un条件收敛。

如：(1)n111n1n1n是条件收敛的；(1)和(1)是绝对收敛的。nn1(2n1)!n110n1全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。

绝对收敛的级数有以下性质： 1． 级数的重排 定理12-3-

3设级数un绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且其和也不变。注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。

（2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。如：设 (1)n1n1111111111A，n234567811111An1

1则

(1)，2n1n24682 而 (1)n1n11111113A11，(1)n11n325742n2n1《数学分析》教案

它正是第1个级数的重排。2．级数的乘积 设有收敛级数

uvnu1u2unA，（1）v1v2vnB。

（2）n它们每一项所有可能的乘积为：

u1v1

u1vu1v3

„

u1vn

„

u2v1

u2v2

u2v3

„

u2vn

„

u3v1

u3v2

u3v3

„

u3vn

„

（3）

„

„

„

„

„

„

unv1

unv2

unv3

„

unvn

„

„

„

„

„

„

„

定理12-3-4（柯西定理）若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积uivj按任意顺序排列所得到的级数例2 等比级数

wn也绝对收敛，且和等于AB。

12n=1rrr，r1 1r是绝对收敛的，将（rn2)按（15）的顺序排列。则得到

1222nn1(rr)(rrr)(rr) =2(1r)n1个2n

=12r3r(n1)r.注：（3）中所有乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序：

u1v1u1v2u2v2u2v1u2v3u2v3u3v3u3v2u3v1； 或对角线顺序：

u1v1u1v2u2v1u1v3u2v2u3v1。

三

阿贝耳判别法和狄利克雷判别法

本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式：

引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设i，vi(i1,2,,n)为两组实数，若令

kv1v2vk，(k1,2,,n)

则有下列求和公式成立：

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vi1nii(12)1(23)2(n1n)n1nn。

证明：直接计算可得。

推论（阿贝尔引理）若（1）1,2,,n单调数组；

（2）对任一正整数k(1kn)有kv1v2vkA，记

{k}，则有

maxk

k1nkkv3A。

证明：由阿贝尔引理即可得。

定理12-3-

5（阿贝尔判别法）若{an}为单调有界数列，且级数

bn收敛，则级数

abnna1b1a2b2anbn

收敛。

证明：由阿贝尔引理及柯西准则即可得。如：由此判别法可知，当级数un收敛时，级数

收敛。unnp(p0)，unn1

定理12-3-6（狄利克雷判别法）若{an}为单调递减数列，且liman0，又级数

nbn的部分和数列有界，则级数

abnna1b1a2b2anbn

收敛。

证明：同定理12-3-5。

例3 若数列{an}为单调递减，且liman0，则级数

n

ansinnx，ancosnx

对任何x(0,2)都收敛。

解：由狄利克雷判别法即得。

本章基本概念：

级数，正项级数，任意项级数，交错级数，绝对和条件收敛

本章思考题:

1、如何理解级数与数列敛散性之间的关系？

2、各种判别法的应用条件和适用性是什么？

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3、怎样理解级数理论的思想和实践应用？

P24

1、（1）—（4）