建筑力学重点内容教案(六)._建筑力学详细教案

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建筑力学重点内容教案

（六）超静定结构

图形相乘法计算位移

结构在荷载作用下产生内力和变形，由于结构的变形，结构上任一截面的位置将有移动，称为位移。截面的位移用线位移和角位移来度量。例如图12-1所式的梁，在荷载P作用下变形如图中虚线所示。此时，截面C变形后位移到C’,距离CC’称为截面C的线位移。同时，截面C还转动了一个角度，称为截面C的角位移或转角。

一、图形相乘法（简称图乘法）计算位移的步骤

（1）绘出结构在荷载作用下的弯矩图，这个弯矩图叫做荷载弯矩图，记作Mp。

（2）在求位移的位置处（B点）沿所求位移的方向（竖向）施加一个单位荷载P=1,并绘出单位荷载作用下的弯矩图。这个弯矩图叫单位弯矩图，记作M.(3)计算荷载弯矩图Mp的面积，并确定荷载弯矩图的形心位置。（4）荷载弯矩图Mp的性心所对应的带为弯矩图M上的竖标与Mp图的面积相乘，再除以梁的抗弯刚度EI，就得到所求的位移。

二、图乘法的应用条件和规则（1）杆件的轴线为直线；

（2）杆件的抗弯刚度EI为常数，当杆件刚度变化时，要分段计算；

（3）单位弯矩图应当是直线，当M图是折线时，应将折线分成几段直线，分别图乘后，取其代数和。

（4）当Mp与y0在弯矩图基线的同一侧时，乘积取正号；反之取负号。

用力法计算超静定梁

一、超静定次数：未知力个数与静力平衡方程数的差值。超静定次数就等于多余与约束的数目。多余约束对结构的作用叫多余未知力。

二、力法的概念

图12—12a示一单跨超静定梁，梁的抗弯刚度为EI。前面已经讲到，这种梁是一次超静定结构。选择B端的链杆为多余约束，其支座反力x，为多余未知力。如果把多余约束去掉，以多余未知力x1代替去掉的多余约束。于是，原来的一次超静定结构就转变为静定结构，如图12-12b所示。这个静定结构称为原结构的基本体系。在这个基本体系上作用有已知的荷载q和未知的X1，是一个

悬臂梁。显然，只要设法求出多余未知力x1，那么超静定结构的计算问题就转化为静定的基本体系的计算问题。

为了求出多余未知力x1，要考虑多余约束对原结构所起作用。原结构(图12-12a)在B点不可能产生竖向位基本体系(图12—12b)中，多余约束虽然被去掉了，但未知力X1作用。在基本体系中，可以把荷载q和多余力X1单独地作用，当仅有荷载g作用时，梁在B端将下的竖向位移△1p，(图12-12c)，当仅有x1作用时，B端将产生向上的位移△11。基本体系B端的总位移；是△1p和△11的叠加。如果未知力x。过大，梁的B上翘；如果未知力x1过小，梁的B端将会下垂。只有的竖向位移正好等于零时，基本体素釉原结构完全相时，基本体系的内力也和原结构完全相同。可见，基本原结构完全相符合条件是：基本体系沿多余未知力方向的位移为零。这个变形条件就是计算多余未知力的补充条个变形条件用计算公式表达为

Al=△lP十△ll=0

这里△1是基本体系沿X1。方向的总位移。即图12—12b的竖向位移，Alp是荷载作用下基本体系沿X1方向的位移。（图12—12c），△I1是基本体系在xI作用下沿X1方向的位移。位移的方向与X1作用的方向相同时位移取正号，反之取负号。

再以11表示单位多余力X1=1时，基本体系沿X1方向产生的位移，则由外力与位移成正比的关系可得

△11=δ11X1 因此，变形条件可写为

δllXl+△1P=0 这个方程叫做力法方程，是根据基本体系的位移条件建立的，用这个方程可以求出多余未知力X1。式中，11称为方程的系数，△1p，称为自由项，它们可用图乘法求得。为了计算11和△1p，要绘制基本体系在单位多余力X1=l作用下的弯矩图M1(图12-13a)和荷载作用下的弯矩图Mp(图12-13b)。

因为δ11表示X=1时8点沿X1方向的位移，显然δ11就等于单位弯矩图M的面积乘以它自己形心的竖标在处以刚度EI。

δ11=1/EI(1/2L·L·L)=L3/3EI 计算△1p时，则用荷载弯矩图M，(图12—13b)面积与其形心所对应的单位弯矩图M(图12—13a)竖标相乘再除以EI。所以

△Ip=-1EI(1/3L·q/2·L2·3/4·L)将δ11和△1p，代入力法方程(12．1)中，得 L3/3EI·X1-qL4/8EI=0 X1=3/8·qL 所得结果为正，表明多余未知力的实际方向与假设方向相同。

多余未知力x-求得后，完全可用静力平衡方程计算图12—12a所示的单跨粱的反力和内力。这个超静定梁，实际上可视为在已知荷载q和X1作用下的悬臂梁。考虑梁AB的平衡(图12—14a)，可算出梁4端的弯矩MAB和剪力VAB。

∑mA=0 MAB+X1·L-q/2·L2=0 MAB=q/2·L2-3/8L·L=1/8·q·L2 ∑Y=0 VAB +X1-qL=0 VAB ==3/8·qL=5/8 ·qL 梁B端的弯矩MBA=o，剪力VBA=一3/8·qL。

根据梁端弯矩和剪力，将梁的弯矩图和剪力图绘于图 12-14b、c。

以上讨论的分析超静定结构的方法叫力法。在力法中，通过位移条件建立求解多余未知力的方程!叫力法方程。因此，建立力法方程，求解多余未知力是用力法计算超静定结构的关键。

例12—5 试绘制图12—15a所示单跨梁的弯矩图和剪力图。梁的抗 弯刚度为EI。

解 将支座B视为多余约束，去掉支座B，代以多余未知力Xl，原结构的基本体系示于图12—15b。

在多余未知力xt的方向施加单位多余力卫。，并绘制单位弯矩图刀t于图c；绘制荷载弯矩图Mp于图d。

建立力法方程： δllXl+△1P=0 用图乘法计算系数δll，和自由项△1p，δll=1/EI(L2/2·2L/3)=L3/3EI △1P=-1/EI(L/2·M·3l/4)=-3L2M/8EI L3/3EI·X1-3L2M/8EI=0 X1=9/8·M/L 以梁船为研究对象(图12—16a)，用静力平衡方程求出 梁端的弯矩和剪力。

∑mA=0 X1L-M-MAB=0 MAB=9M/8L·L-M=1/8·M ∑Y=0 VAB=-X1=9M/8L 负号表示剪力VAB是负剪力。

梁的弯矩图及剪力图绘于图12-16b、c。

总结

作业：12—4试绘制图示超静定梁的弯矩图和剪力图。梁的刚度为EI。

题12-4图