最短路径教案_最短路径的教案

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最短路径问题

教学目标：

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

教学重点：

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

教学难点：

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。

导学过程：

一、创设情景，引入新知。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

问题1（将军饮马问题）

牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？

2、探索问题：

教师提出问题，引导学生思考：

（1）如何将这个实际问题转化为数学问题？转化的要点是什么？

（2）回忆以前学过的“最短”的知识点，（两点之间，线段最短；垂线段最短），思考：这个问题中的“最短”和以前学过的知识有什么相同点和不同点？（3）、如何把“不同点”化为“相同点”？（4）、如何用图形将问题展现出来？

【学生活动】：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充，师生共同归纳：（1）、将A、B两地抽象为两个点，将河L抽象为一条直线（如图2），则问题转化为：如何在L上找一点C，使AC与BC的和最小（如图3）。转化时要注意条件和结论的转化，以及点、线的抽象。

（2）、相同点：都是两点间的最短距离问题。

不同点：一个是两点在L的同侧；一个是两点在L的异侧，并画图比较（如图4）。（3）利用轴对称的知识找出B点关于直线L的对称点B′,就可以满足C B′= CB,再连接A B′，则A B′与直线L的交点C极为所求。

【教师板书并画图】（如图5）

第一步：作出B点关于直线L的对称点B′

第二步：连接A B′，与直线L的交点为C,则C点即为所求。

证明：略

问题二（造桥选址问题）如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)

将实际问题中A，B两地与笔直的河L抽象成 点A.点B和直线a，b.如图：

分析：AM+NB最短，要先确定点N在直线b的位置，如果我先将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位 后到A′，由于MN垂直直线a，N点就是M点往直线 b的垂直方向平移MN个单位后到的点，由图形平移后 的对应点之间的线段是平行且相等的，得到AM=A′N.AM+NB最短即A′N+NB最短.转变成了直线b上是找 到一点N，使A′ N+NB最短,连结A′,B,与直线b相交的 一点为N点.证明略.三、巩固练习 ：

1.∠WXZ内有一点Z，在WZ，ZY上分别有点A，B,当△ABZ的周长最小时，请在图中作出点A，B的位置.2.如图，A、B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

四、课堂小结

1、本节主要知识点：

轴对称的对称知识和两点间的最短距离在“最短路径”这类问题中的运用。实际问题与数学问题的转化。

2、提出问题： 这节课你们学到了什么？还有哪些疑惑？

五、布置作业

新观察