圆教案_圆小学教案

圆教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“圆小学教案”。

圆知识点总结

一、本章知识点框架

圆心、半径基本元素：定义、弧、垂径定理对称、中心对称圆的认识对称性：旋转对称、轴 圆心角、弧、弦、弦心距与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角

点与圆相交直线与圆相切—切线与切线长与圆有关的位置关系 相离圆与圆的位置关系积弧长和扇形、弓形的面圆中的有关计算 圆锥与圆锥的侧面展开图

二、本章重点 1.圆的定义

（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2.判定一个点P是否在圆O上，设圆O的半径为R，OP=d，则有

dr点P在圆O外； dr点P在圆O上； dr点P在圆O内。

西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

3.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧的圆心角的一半；（图a）

②同弧或等弧所对圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。（图b）

③90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角；（图c）④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ⑤圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

图a 图b 图c 图d（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角。（图d）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半。4.圆的性质：

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

（1）旋转不变形：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；

圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等。

（2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。（3）垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（图1）②平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧； ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；

④平分一条弧所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分这条弦； ⑤平行弦夹的弧相等。（图2）

图1 图2 5.三角形的内心、外心、垂心、重心

（1）三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。

（2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示。

西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

（3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示。（4）垂心：是三角形三边高线的交点。6.切线的判定、性质（1）切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质：（图3）①圆的切线垂直与过切点的半径； ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点； ③经过切点作切线的垂线经过圆心。

（3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长。

（4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（图4）

图3 图4 7.圆内接四边形和外切四边形

西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

（2）各边都和圆相切的四边形叫做圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。圆内正多边形的计算：（如下图所示）①正三角形

在圆O中，ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB1:3:2 ②正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2 ③正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2

8.直线和圆的位置关系：

设圆O半径为R，点O到直线I的距离为d，（1）直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R；(图5)

（2）直线和圆O有唯一公共点直线I和圆O相切d=R；（图6）（3）直线I和圆O有两个公共点直线I和圆O相交d

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

图5 图6 图7 9.圆与圆的位置关系：

设圆O1、圆O2的半径为R、r（R>r），圆心距O1O2d

（1）圆O1和圆O2没有公共点，且每一个圆上的所以点在另一个圆的外部圆O1、圆O2外离d>R+r。（外离图8）

（2）圆O1和圆O2没有公共点，且圆O2的每一个点都在圆O1内部圆O1、圆O2内含d

（3）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，每一圆上的点都在另一个圆外部圆O1、圆O2外切d=R+r。（外切图10）

（4）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，圆O2的每个点都在圆O1内部圆O1、圆O2内切d=R-r。（内切图11）

（5）圆O1和圆O2有两个公共点圆O1、圆O2相交R-r

图8

图9

图10 西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

图11

图12 10.两圆的性质：

（1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线；

（2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切心。11.圆中有关计算: 2圆的面积公式：SR，周长C2R.圆心角为n、半径为R的弧长l圆心角为nnR.180nR21lR.、半径为R，弧长为l的扇形的面积S3602弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。

圆柱的侧面图是一个矩形，地面半径为R，母线长为1的圆柱的体积为nR2l，侧面积为2Rl，全面积为2Rl2R2。

圆锥的侧面积展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积

222为Rl，全面积为RlR2，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有Rhl.例1.如图所示，已知AB为圆O直径，C为弧AB上一点，CDAB于点D，OCD的平分线CP交圆O与点P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

分析:要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在弧AB上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律。解: 连接OP，2P1P OC=OP21OP//CDPAPB CDABPD点为AB中点。

例2.下列命题正确的是（B）A.相等的圆周角所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦

例3.四边形ABCD内接与圆O，A:B:C1:2:3，求D.分析：园内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等。解：设Ax，B2x，C3x, 则DACB2x.x2x3x2x360，x45

D90

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

练习：四边形ABCD外切于圆O，周长为20，且AB:BC:CD1:2:3,求AD 的长。

例4.为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图所示的方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm.分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，在用三角函数知识求解。解:tanPAOOPOPPAtan605353cm PA例5.已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆O1的半径是10，圆O2的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

图1 图2 解：分两种情况讨论：

（1）若O1、O2位于AB的两侧如图1所示，设O1O2与AB交于C，连接O1A、O2A，则O1O2垂直平分AB，ACAB.又AB16AC8

在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O1C+O2C=21（2）若O1、O2位于AB的同侧如图2所示，设O1O2的延长线与AB交于C，连接O1A、O2A，CO2垂直平分AB，AC1AB.212又AB16AC8

在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O2C-O1C=9

三、相关定理： 1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）如下图所示

即：弦AB、CD交于点P，PAPBPCPA（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

即：CD垂直AB于点E，CE2DE2EAEB

例6.已知P为圆O内一点，OP=3cm，圆O半径为6cm，过P任作一弦AB，设AP=x，BP=y，则y关于x的函数关系式为______。

623227解：由相交弦定理得y，即y，其中3x9.xx2.切割线定理

推论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：若PA是切线，PB是割线，则PA2PCPB

例7.已知PT切圆O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm,求PB长。

西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

解：设TD=x,BP=y,由相交弦定理得：ADDBCDTD 即34(8x)xx16，x22（舍）

由切割线定理，PT2APBP 由勾股定理得，PD2PT2TD2

PD2APBPTD2(y4)262y(y7)

y20cm

四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线

（1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等；

（2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明。

（3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算。

（4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；

（5）作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；（6）遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角；（7）遇到切线，作过切点的半径，构造直角；

（8）欲证直线为圆的切线时，分两种情况：①若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心证明直线垂直；②不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径

（9）遇到三角形的外心常连接外心和三角形的各顶点；

（10）遇到三角形的内心，常作：①内心到三边的垂线；②连接内心和三角形的顶点；

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

（11）遇相交两圆，常作:①公共弦；②连心线；（12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线；

（13）求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边。

2.圆中较特殊的辅助线

① 过圆外一点或圆上一点作圆的切线； ②将割线、相交弦补充完整； ③作辅助圆。

例8.如图所示，AB是圆O的直径，弦CDAB,垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为（A）

分析：连接OC，由AB是圆O的直径，弦CDAB知CD=DE，设AE=x，则在RtCEO中，OC2OE2CE2, 即52(5x)242，则x12，x28（舍去）

例8图 例9图

例9.如图所示，CA为圆O的切线，切点为A，点B在圆O上，如果AOB等于（C）

A.35 B.90 C.110 D.120

学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405

分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道

AOB2BAC255110 故选C

例10.如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（B）分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即24540(cm2)

例11.如图所示，在半径为4的圆O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交圆O于E，且EM>MC，连接OE、DE，DE15，求：EM的长。

解：由DC是圆O的直径，知DEEC，于是ECDC2DE27,设EM=x,则AMMBx(7x)，即x27x120，所以x13,x24，而EM>MC，即EM=4.学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌

网址：www.daodoc.com

10楼

街南

14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区

商含

业光

咨

号

楼

4-8嘉

翔层大

厦

216号

询

咨咨

电

询询

话

电电

话

：0933-3603331

话

029-34200707 ：029-88758405