武汉科技大学教案纸_一上科学材料纸教案

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第3章

线性系统的时域分析法（8学时）

【主要讲授内容】

3.1线性时间响应的性能指标 3.2一阶系统的时域分析 3.3二阶系统的时域分析 3.4高阶系统的时域分析 3.5线性系统的稳定性分析 3.6线性系统的稳态误差计算 3.7 控制系统时域设计

【重点与难点】

1、重点：

二阶系统动态性能计算以及劳斯判据的应用。

2、难点：

扰动作用下减小或消除稳态误差的方法。

【教学要求】

1、熟悉时域性能指标的定义；

2、掌握一阶系统和二阶系统的暂态性能指标的求取；

3、掌握二阶系统暂态性能改善的方法，劳斯稳定判据及其应用；

4、掌握稳态误差的分析与计算；

5、掌握减小或消除稳态误差的方法。

【实施方法】

课堂讲授，PPT配合

3.1系统时间响应的性能指标

1．阶跃函数

阶跃函数的表达式为

0t0r(t)At0

2．斜坡函数（或速度函数）

0t0r(t)Att0 斜坡函数的表达式为 3．加速度函数

加速度函数的表达式为

0r(t)12At24．脉冲函数

脉冲函数的表达式一般为

t0t0

t00Ar(t)0tt0

5．正弦函数

正弦函数的表达式为

t00r(t)Asintt0

3.1.1线性定常系统的时域响应

对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述。即

dnc(t)dn1c(t)a0a1n1ndtdtdc(t)dmr(t)dm1r(t)an1anc(t)b0b1m1mdtdtdtbm1dr(t)bmr(t)dt

系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，就是系统的时域响应。

齐次微分方程的通解c1(t)由相应的特征方程的特征根决定。特征方程为

an1san0

如果上式有n个不相等的特征根，即p1,p2,...,pn，则齐次微分方程的通解

D(s)a0sna1sn1为

从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性、平稳性等来衡量。3.1.2 控制系统时域响应的性能指标 1．稳态性能指标

其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即

elim[r(t)c(t)]tc1(t)k1ep1tk2ep2t...knepnt

稳态误差e反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。2 动态性能指标

动态响应是系统从初始状态到接近稳态的响应过程，即过渡过程。

3.2 一阶系统的时域分析

一阶系统微分方程的标准形式是

dc(t)c(t)r(t)dt

3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应

T当输入信号r(t)＝1(t)时，系统的输出称为单位阶跃响应，记为h(t)。当

1r(t)＝1(t)，即R(s)＝s时，有

1s(Ts1)

对上式取拉普拉斯反变换，得到单位阶跃响应为

C(s)R(s)(s)t1h(t)L[C(s)]L1eT t0s(Ts1)

11一阶系统单位阶跃响应性能指标为：调节时间ts

稳态误差e 超调量Mp 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应

当系统输入信号为单位脉冲函数r(t)(t)时，R(s)1，这时系统的响应为单位脉冲响应，记为g(t)，即

g(t)L1C(s)L1(s)R(s)L1(s)3.2.3 线性定常系统的重要特性

系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。或者反过来，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输入初始条件确定。

3.3 二阶系统的时域分析

3.3.1 二阶系统的数学模型

典型二阶系统的结构其闭环传递函数为

2nC(s)2R(s)s22nsn

二阶系统的特征根（即闭环极点）为

s1,2nn21 随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根（闭环极点）也不相同，主要有下面四种情况： 1．欠阻尼（01）2．临界阻尼（1）3．过阻尼（1）4．无阻尼（0）3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应

二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换

2n1C(s)22s2nsns

对上式进行拉氏反变换，便得二阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程，即

h(t)L1[C(s)]

1．欠阻尼系统阶跃响应 2．临界阻尼系统单位阶跃响应 3．过阻尼系统单位阶跃响应 4．二阶系统阶单位跃响应的主要特征 结论：

（1）阻尼比越大，超调量越小，响应的平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。当＝0时，系统为具有频率为n的等幅振荡。

（2）过阻尼状态下，系统响应迟缓，过渡过程时间长，系统快速性差；过小，响应的起始速度快，但因振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts亦长，快速性差。

（3）当＝0.707时，系统的超调量

Mp

（4）当阻尼比保持不变时，n越大，调节时间ts就越短，快速性越好。（5）系统的超调量统的平稳性。

（6）工程实际中，二阶系统多数设计成01的欠阻尼情况，且常取＝0.4～0.8之间。

3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应

对于具有标准形式闭环传递函数的二阶系统，令r(t)(t)，则有R(s)1，相应的输出信号的拉氏变换式为

Mp和振荡次数N仅仅由阻尼比决定，它们反应了系

2nC(s)22s2nsn

取上式的拉氏反变换，便可得到下列各种情况下的脉冲过渡函数：

(1)欠阻尼(01)g(t)n12entsinn12t(t0)(2)无阻尼(0)

g(t)nsinnt(t0)(3)临界阻尼(1)

2ntg(t)nte(t0)(4)过阻尼时(1)

e(g(t)221n21)nte(21)nt

(t0)

3.3.4二阶系统的斜坡响应

设二阶系统的输入为单位速度函数，即r(t)t，则有信号的拉氏变换式为

2n1C(s)222s2nsns

R(s)1s2，对应输出进行拉氏反变换，可以得到相应的系统过渡过程。

（1）欠阻尼(01)时的过渡过程

2C(s)取上式的拉氏变得

21nn2222nsn(sn)(221)

c(t)tt式中

2n2ent(2ncosdt221n12sindt)entn n212sin(dtarctg)(t0)22211

dn12（2）临界阻尼(1)时的过渡过程 对于临界阻尼情况

2C(s)对上式取拉氏反变换得

2n1n1s2s(sn)2sn

c(t)t2n2n(1n2t)ent(t0)(3.46)（3）过阻尼(1)时的过渡过程

c(t)t2n2212212n1e(2e(21)nt2212212n2121)nt(t0)

对于二阶系统，其单位斜坡函数输入的过渡过程，还可以通过对其单位阶跃响应求积分求得，其中积分常数可根据t＝0时过渡过程c(t)＝0的初始条件来确定。

3.4 高阶系统的时域分析

3.4.1 高阶系统单位阶跃响应

如果系统的闭环极点均位于根平面左半平面，则阶跃响应的暂态分量将随时间而衰减，系统是稳定的。只要有一个极点位于右半平面，则对应的响应将是发散的，系统不能稳定工作。

例 设三阶系统闭环传递函数为

5(s25s6)(s)3s6s210s8

试确定其单位阶跃响应。

解 将已知的(s)进行因式分解，可得

(s)5(s2)(s3)(s4)(s22s2)

其单位阶跃响应的拉氏变换为

5(s2)(s3)s(s4)(s1j)(s1j)

进行部分分式分解，有

C(s)a0a3aa214s1js1j

可以计算出其中的系数为

C(s)a01517j7ja1a2a34，4，4，4

对C(s)进行拉氏反变换可得，得到系统的单位阶跃响应：

1h(t)[15e4t102etcos(t352o)]4

3.4.2 闭环主导极点

其规律可以总结为：

1)闭环极点si在 S平面上的左右分布（实部）决定过渡过程的终值。位于虚轴左边的闭环极点对应的暂态分量最终衰减到零，位于虚轴右边的闭环极点对应的暂态分量一定发散，位于虚轴（除原点）的闭环极点对应的暂态分量为等幅振荡。

2)闭环极点的虚实决定过渡过程是否振荡。si位于实轴上时暂态分量为非周期运动（不振荡），si位于虚轴上时暂态分量为周期运动（振荡）。

3)闭环极点离虚轴的远近决定过渡过程衰减的快慢。si位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快，离虚轴愈近过渡过程衰减得愈慢。所以离虚轴最近的闭环极点“主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。

3.5 线性系统的稳定性分析

3.5.1 控制系统稳定性的概念与条件

稳定是控制系统的重要性能，也是系统正常运行的首要条件。

稳定性，是指当扰动消除后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。定义：对于一个控制系统，假设其具有一个平衡状态，如果系统受到有界扰动作用偏离了原平衡点，当扰动消除后，经过一段时间，系统又能逐渐回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的。否则，称这个系统不稳定。3.5.2 线性定常系统稳定的充分必要条件

控制系统稳定的必要和充分条件是：系统特征方程式的根的实部均小于零,或系统的特征根均在根平面的左半平面。

系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分和必要条件又可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在S平面的左半平面。

线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，与外界无关。3.5.3 劳斯判据

劳斯稳定判据是一种不用求解特征方程式的根，而直接根据特征方程式的系数就判断控制系统是否稳定的间接方法。它不但能提供线性定常系统稳定性的信息，而且还能指出在s平面虚轴上和右半平面特征根的个数。

由根与系数的关系可知，欲使全部特征根

p1,p2,...,pn均具有负实部（即系统稳定），就必须满足以下两个条件（必要条件）：

（1）特征方程的各项系数a0,a1,...,an均不为零。（2）特征方程的各项系数的符号都是相同。

劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件：劳斯表中第一列所有元素均大于零。

劳斯判据还表明，特征方程式中实部为正的特征根的个数等于劳斯表中第一列的元素符号改变的次数。3.5.4 劳斯判据的特殊情况

(1)劳斯表中第1列出现零，而该行其余各项不为零

应用方法：用一个很小的正数 代替零，继续计算其余各元。(2)劳斯表中某一行的元素全为零。

应用方法：先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现数值相同符号不同的根的数目。再对上述辅助方程求导，用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯阵列。3.5.5 赫尔维茨判据

该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程式为

an1san0

赫尔维茨判据指出，系统稳定的充分必要条件是在a0>0的情况下，上述行

a0sna1sn1a2sn2列式的各阶主子式Δi均大于零，即

1a102a1a3a0a1a2a0a30a2a0a2a40a10a2

a13a3a5 n03.5.6 稳定判据的应用

例 设单位反馈控制系统结构图如图3.21所示，试确定系统稳定时K的取值范围

图3.21 单位反馈控制系统结构图

解 系统的闭环传递函数

C(s)K3R(s)s6s25sK

其特征方程式为

D(s)s36s25sK0

列劳斯表

s3s2s1s01630K6K5K0

按劳斯判据，要使系统稳定，应有K>0，且30-K>0，故K的取值范围为0

相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离，称之为稳定裕量。

检查系统是否有α的稳定裕量，相当于将纵坐标左移至α，再判断系统是否仍然稳定；并可确定一些可调参数对系统稳定性的影响。

3.6 线性系统的稳态误差计算

3.6.1 误差及稳态误差的基本概念 1．误差的定义

c(t)是被控量的实际值，用cr(t)表示系统被控量的希望值。一般定义被控量的希望值与实际值之差为控制系统的误差，记为e(t)，即e(t)c(t)cr(t)

（1）输入端定义

把系统的输入信号r(t)作为被控量的希望值，而把主反馈信号b(t)（通常是被控量的测量值）作为被控量的实际值，定义误差为

e(t)r(t)b(t)

这种定义下的误差在实际系统中是可以测量的，且具有一定的物理含义。通常该误差信号也称为控制系统的偏差信号。

（2）输出端定义

设被控量的希望值为cr(t)，被控制量的实际值为c(t)，定义误差

e(t)cr(t)c(t)

这种定义在性能指标中经常使用，但实际应用中有时无法测量。（3）稳态误差

误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量——稳态误差记为e。定义稳态误差为稳定系统误差响应e(t)的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为

elime(t)t

2.系统的稳态误差分析

根据误差和稳态误差的定义

E(s)R(s)B(s)R(s)G(s)H(s)E(s)

E(s)1R(s)1G(s)H(s)E(s)1R(s)1G(s)H(s)定义

er(s)为系统对输入信号的误差传递函数。两点结论：

(1)稳态误差与系统输入信号r(t)的形式有关；(2)稳态误差与系统的结构及参数有关。3.6.2 系统稳态误差的计算

1．系统的型别

系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数v来分类。把v=0，1，2，…的系统，分别称为0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系统。开环传递函数中的其它零、极点，对系统的型别没有影响。

这种分类方法的优点在于：可以根据已知的输入信号形式，直接判断系统是否存在原理性稳态误差，并估算稳态误差的大小。阶次m和n的大小与系统的型别无关，且不影响稳态误差的数值。

2.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数（1）Kp的大小反映了系统在阶跃输入下消除误差的能力，Kp越大，稳态误差越小；

（2）0型系统对阶跃输入引起的稳态误差为一常数，其大小与K有关，K越大，e越小，但总是有差的，所以把0型系统常称为有差系统；

（3）在阶跃输入时，若要求系统稳态误差为零，则系统至少为Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统。

3.速度输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数

（1）Kv的大小反映了系统跟踪速度输入信号的能力，Kv越大，系统稳定误差越小；

（2）0型系统在稳态时，无法跟踪速度输入信号；（3）Ⅰ型系统在稳态时，输出和输入在速度上相等，但有一个与K成反比的常值位置误差；

（4）在速度输入时，若要求系统稳态误差为零，则系统至少为II型或高于II型以上系统。

4.加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数 当系统输入为单位加速度信号时，式得到系统的稳态误差为

r(t)121t1(t)R(s)32s，则由(3-62)，elims1R(s)s01G(s)H(s)1111lims3s01G(s)H(s)slims2G(s)H(s)Kas0

式中，Kalims2G(s)H(s)s0，定义为系统静态加速度误差系数。

对于0型系统，Ka0，e； 对于Ⅰ型系统，Ka0，e； 对于Ⅱ型系统，KaK；

对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka，e0。上述分析表明：

（1）Ka的大小反映了系统跟踪加速度输入信号的能力，Ka越大，系统跟踪精度越高；

（2）Ⅱ型以下的系统输出不能跟踪加速度输入信号，在跟踪过程中误差越来越大，稳态时达到无限大；

（3）Ⅱ型系统能跟踪加速度输入，但有一常值误差，其大小与K成反比；（4）要想准确跟踪加速度输入，系统应为Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统。5．扰动信号作用下的稳态误差 6．控制系统的稳态误差 3.6.3 动态误差系数

利用动态误差系数法，可以研究输入信号为任意时间函数的系统稳态误差变化，因此动态误差系数又称广义误差系数。为了求取动态误差系数，写出误差信号的拉氏变换式 E(s)e(s)R(s)将误差传递函数e(s)在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得

e(s)11e(0)e(0)e(0)s2...1G(s)H(s)2!3.7.4 改善系统稳态精度的途径

1.增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益 2.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节 3.采用串级控制抑制内回路扰动 4.采用复合控制方法

3.7 控制系统的时域设计——

用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析

3.8.1 单位脉冲响应

MATLAB中求系统脉冲响应的函数为impulse()，其调用格式为

impulse(num，den)或 ［y，x，t］=impulse(num，den，t)式中，num为传递函数分子的系数向量，den为传递函数分母的系数向量，即G(s)=num/den；t为仿真时间；y为时间t的输出响应；x为时间t的状态响应。

（1）函数impulse（num，den）绘出单位脉冲响应。

（2）函数［y，x，t］=impulse(num，den，t)产生系统的输出量和状态响应及时间向量，若需计算机屏幕上画出波形，应接着调用plot（t，y）命令。3.8.2 单位阶跃响应

在MATLAB中可用step()函数计算系统的单位阶跃响应，其调用格式为

step(num，den)或 [y，x，t]=step(num，den，t)step()函数说明及调用方式于函数impulse()相同。3.8.3 斜坡响应

单位斜坡响应输入是单位阶跃输入的积分，当求传递函数为的斜坡响应时，可先用s除以(s)得(s)，再利用阶跃响应命令即可求得斜坡响应。3.8.4 任意函数作用下系统的响应

任意已知函数作用下系统的响应可用线性仿真函数lsim来求取，其调用格式为

［y，x］=lsim(num，den，u，t)式中 u为系统输入信号；x、y、t与前面相同。

注意，调用仿真函数lsim()时，应给出与时间t向量相对应的输入向量。

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