人教版高三(理)第一轮复习函数函数的奇偶性 教案_函数的奇偶性复习教案

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函数的奇偶性

一．知识点

1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性。

2.性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和

11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]

22⑥奇±奇=奇

偶±偶=偶

奇×奇=偶

偶×偶=偶

奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称] ⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

⑧奇函数在定义域内若有零：则f（0）=0 3．奇偶性的判断

1.定义①看定义域是否关于原点对称，②看f(x)与f(-x)的关系。2.看图形的对称性。二．应用举例 关于从定义出发 例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、①f(x)(x1)1x

非奇非偶函数 1x

偶函数 ②f(x)lg(1x2)x222x2x(x0)③f(x)

奇函数 2xx(x0)④f(x)3x2x23

既是奇函数又是偶函数

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⑤f(x)x2xa2

a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数

例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=1

②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函数

变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2=-x则f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函数 关于数形结合和性质

2例3．已知函数f(x)，当x

x22x1(x0)(x0)答案：①可确定，f(x)0x22x1(x0)②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。变式一：书例1

a2xa2变式二：已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。x212x2分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，f(x)x再验

21证

综合提高与应用。P17书例3 练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在[0,)上为减函数，若f(a2a2)f(2a1)，求实数a的取值范围。

简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在[0,)上为减函数，∴由f(a2a2)f(2a1)有：

a2a20解得a≤-1或a≥2.aa2f(2a1)

22aa2(2a1)2三．小结

１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)11[f(x)f(x)][f(x)f(x)] 22地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687

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５．函数奇偶性的判断与应用。四．作业 优化设计

备例1．已知g(x)是奇函数，f(x)log2(x1x)g(x)2且f(3)5，求f(3)

2x18f(x)log2(x21x)g(x)2x简解： 相加得：f(x)2x2xf(x)

2xf(x)log2(x1x)g(x)2f(3)2323f(3)3

备例2．f(x)是定义在(,10][10,)上的奇函数，且f(x)在[10,)上的的单调递减

①判断f(x)在(,10]上的单调性，并用定义证明，②若a>0且a≠1，有f[(ax1)2ax]f(a2x6ax10)0，求x的取值范围。解答见书

备例3：书P17例4

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