高三一轮复习教案25均值不等式公式总结及应用_高三均值不等式总结

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均值不等式应用

a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab

2ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab 222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”））b时取“=”

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*2

3.若x0，则x1）2(当且仅当x1时取“=”x

1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x

若x）0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”xxx

4.若ab0，则ab）2(当且仅当ab时取“=”ba

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

51的最大值。，求函数y4x244x

5技巧二：凑系数

例1.当

解

变式：设0

技巧三： 分离 时，求yx(82x)的最大值。x3，求函数y4x(32x)的最大值。

2x27x10例3.求y(x1)的值域。x

1技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

AB(A0,B0)，g(x)

恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。ymg(x)

例：求函数

y2的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）ysinxxx

32．已知0

条件求最值

1.若实数满足ab

变式：若log4x

1，求函数y的最大值.；3．0x

2，则3a3b的最小值是.2，求函数y.3xlog4y2，求11的最小值.并求x,y的值 xy

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x

变式：（1）若190,y0，且1，求xy的最小值。xyx,yR且2xy1，求11的最小值 xy

(2)已知a,b,x,技巧七

已知x，y为正实数，且yR且ab1，求xy的最小值 xyx 2y 22 ＝1，求x1＋y 2 的最大值.技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧

九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

变式:

求函数y

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知3x ＋2y 的最值.15x)的最大值。22a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知x

1111118 abc190,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy