数学归纳法证明不等式教案_不等式证明教案

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§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：

1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；

20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.（nN）

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

当n=k+1时，│Sin（k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│

≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│

=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│

≤│Sin kθ│+│Sin θ│≤k│Sinθ│+│Sin θ│=（k+1）│Sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

例2． 证明贝努力（Bernoulli）不等式:

已知xR,且x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx

当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立

由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.三、当堂检测

1、（1）不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

1（2）求满足不等式(1)nn的正整数n的范围。n

n2*22n(nN)．

2、用数学归纳法证明

证明：（1）当n=1时，221，不等式成立； 当n=2时，222，不等式成立；当n=3时，223，不等式成立．

*nk(k3,kN)时不等式成立，即 2k2k2．（2）假设当

k1k222则当nk1时，222(22)22k2(k1)k2k3，1222

322kk3∵，∴2k3(k3)(k1)0，（*）

k1222k1222(k1)k2k3(k1)22(k1)从而，∴． 即当nk1时，不等式

也成立． 由（1），（2）可知，22n对一切nN都成立．

四、课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

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