数学分析教案 (华东师大版)第五章 导数和微分_数学分析导数和微分
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《数学分析》教案
第五章 导数和微分
教学目的：
1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；
2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；
3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。
教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。
教学时数：16学时
§ 1 导数的概念（4学时）
教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。
教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
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§ 2 求导法则（4学时）
教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。
教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。
教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法； 教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法： 以问题教学法为主，结合课堂练习。
一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.二、讲授新课：
（一）.基本初等函数求导
推导基本初等函数的求导公式.（二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“ ”和“ ”)例1
求
求
（例2
例3 求
例4 证明:(用商的求导公式证明).例5 证明:
例6 证明:.《数学分析》教案
设函数
可导且
证（法一）用定义证明.（法二）由
恒有
或
严格单调.(这些事实的证明将在下一章给出.)因此,), 有
有反函数, 设反函数为
用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式.就有
例1.设
2.取对数求导法:
求
例2.设
例3.设 例4.设
求
求
求
3..抽象函数求导: 例5.例6 若可导,求
和
求
.§ 4 高阶导数（2学时）
教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。
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6． 分段函数在分段点的高阶导数：以函数
为例.三.高阶导数的运算性质: 设函数
1．和
求
均 阶可导.则
2．3． 乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定
（介绍证法.）
例
2求
解
例
3求
解
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例6 求
解
§5 微分（2学时）
教学目的：
1.准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。
2.弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。
3.能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：
1.清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。
2.明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系 教学难点：运用微分的意义解决实际问题
一.微分概念:
1.微分问题的提出: 从求 数的情况, 引出微分问题.《数学分析》教案
例
5求 3．估计误差：
绝对误差估计：的近似值.相对误差估计：
例6（[1]P138 E5）设已测得一根圆轴的直径为 绝对误差不超过 差.4.求速度: 原理:，并知在测量中
.试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误
例7 球半径 以 增大的 速度.四．高阶微分： 高阶微分的定义：的速度匀速增大.求
时, 球体积
阶微分定义为
阶微分的微分，即
注意区分符号 的意义.1
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例3 设函数
定义在区间
内的函数
内,试证明:
（仅依赖于
和
在点.使 可导的充要条件是存在在点 连续且适合条件
并有
证 设
存在, 定义
易验证函数 在点
设
连续,又
且 在点
连续.则有
即 存在且
（二）.求导数或求切线:
例4 E11.求
和
参阅[4]P92 例5 求
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例8 设
在点 可导.确定、使函数
和 的值，)
（四）.奇、偶函数和周期函数的导函数：
例9 可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设
证 是偶函数且在点
可导, 则
.由 存在，即
简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.（五）.关于可导性的一些结果: 1.若 义域内, 导函数的定义域是
点 是函数 是初等函数, 则
也是初等函数.在初等函数的不可导点.例如函数 在点
没有定义, 因此的定
不存在的点是函数 , 但导函数 的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数.例如
