高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1_高中数学必修11集合

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安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1 集合的概念与运

算教案 新人教版必修1 【考点透视】

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】

题型1． 正确理解和运用集合概念

理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}

思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．

yx21,x0,x1,或得点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组yx1.y1, y2.从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C． D．不知道

思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了． 解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．

例3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P

Q 22例4若A{x|x1}，B{x|x2x30}，则AB=（）

A．{3} B．{1} C． 思路启迪：

D．{－1}

A{x|x1,x1}，B{x|x1,x3},AB1.解：应选D．

点评：解此类题应先确定已知集合． 题型2．集合元素的互异性

集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

1例5.若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－2(a2－3a－8), a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．

解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查． 当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．

当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1． 当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设． 故a=2为所求．

例6.已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,ac, ac2}．若A=B，则c的值是______． 思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，1∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－2．

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______． 思路启迪：由A∪B=ABA而推出B有四种可能，进而求出a的值． 解： ∵ A∪B=A，BA,∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=，则令△

若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈；

若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3． 综上a的值为2或3．

点评：本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法

集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

例8.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．

解：任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故AB．

① 又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故BA

② 由①、②知A=B．

点评：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（）A.AC

B.CA

C.AC

D.A [考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.解：由ABBC知，ABB,ABCABC，故选A.例10．设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是（）

A.1 B.3 C.4 D.8 [考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.解：A{1,2}，AB{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A{1,2}的2子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有24个.故选C.xa0x1≤1xx1例11． 记关于的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．

（错误！未找到引用源。）若a3，求P；

（错误！未找到引用源。）若QP，求正数a的取值范围． 思路启迪：先解不等式求得集合P和Q．

x30Px1x3x1解：（错误！未找到引用源。）由，得．

（错误！未找到引用源。）由a0，得

Qxx1≤1x0≤x≤2．

Px1xa，又QP，所以a0，)． 即a的取值范围是(2，题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例12.已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，则实数a组成的集合C是________．

解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．

这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 例13．已知集合Ax|xa≤1，Bxx25x4≥0．若AB，则实数a的取值范围是

．

思路启迪：先确定已知集合A和B． 解：

2Ax|xa≤1xa1x≤a+1,Bxx5x4≥0xx≥4,x1.

3)． a14,a11.2x3.故实数a的取值范围是(2，例14.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R=，则实数m的取值范围是_________．

思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解

集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．

解：由A∩R=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，2m240,m20,或△=(m＋2)2－4－4．

点评：此题容易发生的错误是由A∩R=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．

例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．

解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．

欲使B2p13p3.2p15A，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．

上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B=时，符合题设．

应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．

由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2． 由①、②得：p≤3．

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 题型5．要注意利用数形结合解集合问题 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

例16.设全集U={x|0

思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．

解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B． 解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x0}． 如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x0}=R．

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x0}={x|－6≤x＜－3，或0

点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果． 例18.设A={x|－21}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1

思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答． 解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1

点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．

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