届高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形_高中数学竞赛讲义

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解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，pabc为半周长。2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。sinAsinBsinC111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB.222推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足

ab，则a=A.sinasin(a)证推论3，由正弦定理

absiansin(a)，所以，即sinAsinBsiAnsin(A)1[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= 2sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于1[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0

2bc2

22下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2pc2qAD=pq.（1）

pq2【证明】 因为c=AB=AD+BD-2AD·BDcosADB，222所以c=AD+p-2AD·pcosADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcosADC，② 因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得 2

b2pc2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq.pq222

2注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD（2）海伦公式：因为SABC22b22c2a2.212221221222

bcsinA=bc(1-cosA)= bc 444

(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).1224bc16这里pabc.2所以S△ABC=p(pa)(pb)(pc).二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()uvw.2．正弦定理的应用。

例2 △ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.222例4 在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。

+例5 设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P223的最大值。a21b21c21

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：AMP(Pa)，此处P1(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。204．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E

0和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

222227．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a+b+c+d=8R，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

cosAcosCcosB.APCRBQ9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。