平差教案_差教案

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测量平差 绪论

说在学习前面的话：

测量平差是测绘专业一门重要的技术基础课，主要讲授数据处理的基本理论和方法，为今后专业学习打基础。

测量过程是由我们测量人员使用测量仪器在野外完成的，测量不可避免存在误差。为了检验测量成果的准确性和提高可靠性，还需要进行多余观测。

一、平差的任务和内容

任务：处理有观测误差的数据，估计带求量的最佳估值并评定精度。内容：建立观测误差的统计理论，研究误差的统计分布；

研究衡量观测成果质量的精度指标；

建立观测值和待求值的函数模型；

结合实践研究平差的各种方法；

研究预报和质量控制问题。

二、平差的理论支撑和学好的方法

理论支撑：数理统计，线性代数，高等数学。

方法：上课认真听讲，理解老师讲解的内容，做笔记，做习题。

三、误差的来源

水准测量中架设偶数站是为了消除什么误差？水准尺零点误差

水准测量中前后视距相等是为了消除什么误差？i角误差、大气折光差、地球曲率影响

1、测量仪器：由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本受制造工艺的限制也有一定的误差，因此，使用这样的水准仪和水准尺进行观测，就会使水准测量的结果产生误差。同样，经纬仪、测距仪、接收机等仪器的观测结果也会有误差的存在。

2、观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。

3、外界环境：观测时所处的外界条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会相对低一些。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。但是，不管观测条件如何，观测的结果都会产生这样或那样的误差，测量中产生误差是不可避免的。当然，在客观条件允许的限度内，我们可以而且必须确保观测成果具有较高的质量。

通常把仪器、人、自然环境和观测对象的误差称为测量条件。

四、测量误差及分类

1、真值和真误差

真值：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。

估计值：与真值相对，以一定的精度反映一个量的数值。观测值：通过量测，直接或间接得到的一个量的大小。真误差：观测值与真值之差。公式表示为⊿=L-X.等精度观测：测量需要进行多余观测。在测量条件相同的条件下进行的观测称为等精度观测。我们主要学习等精度观测。(插入为什么要进行多余观察)较差：对同一个量两次观测值的差值。关于真值的一点说明：一个量的真值是客观存在的，但是往往通过一次或有限次观测不可能绝对消除，从未获得一个量的真值。怎么办？

统计学理论：一个仅受偶然误差影响的量，称为随机变量。如果一个观测值仅受偶然误差的影响，那么此观测值的所有可取值的平均值就是这个观测值的数学期望E(X)，也是这个观测量的真值。所以，测量里面，测得值的数学期望E(X)就是这个观测量的真值。

2、测量误差的分类

（1）粗差：作业人员粗心大意或仪器故障造成的差错。例：读错，听错，记错，算错等。处理方式：更正，舍弃，重新观测。

（2）系统误差：测量条件中的某些特定因素的系统性影响产生的误差。

特征：相同观测条件下，做一系列观测，系统误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。来源：①人差；②仪器差；③外界条件。

消除措施：对观测结果进行改正；制定科学的观测方法和操作程序；综合分析资料，发现系统误差，在计算中消除。

（3）偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列的多余观测时，从单个误差看，该列误差的大小和符号表现出偶然性，无规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，也称随机误差。

处理方法：采用多余观测，本课程就是研究如何有具有偶然误差的观测值求出最或然值并进行精度评定。

需要知道的是：一切测量中，偶然误差是不可避免的；

系统误差和偶然误差在一定条件下可以相互转化；

五、关于数学期望E(X)的一些说明

前面说过，一个观测值的真值是客观存在的，在这个量仅受偶然因数的影响下，这个观测量的数学期望就是这个量的真值。下面简单介绍下数学期望。

（1）产生的背景

赌局问题：

A，B两人赌技相同，各出赌金100元，并约定先胜三局者为胜，取得全部200元由于出现意外情况，在A胜2局B胜1局时，不得不终止赌博，如果要分赌金，该如何分配才算公平? 分析：两人在A胜2局B胜1局时，有两种可能，比赛四局结束或五局结束。两种情况出现的概率相同，各占一半。

四局结束，A肯定胜。

五局结束，A，B各有一半的胜率.综合上述两种情况，A胜的概率为1/2*1+1/2*1/2=3/4； B胜的概率为0*1/2+1/2*1/2=1/4；

A=200*3/4=150元 B=200*1/4=50元。

举例：射击问题

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击100次，（命中的环数是一个随机变量），如下，就此人命中的数学期望，或者这个人的真实水平。环数 0 1 4 8 9 10 次数 5 5 10 60 10 10（2）数学期望再解读

从上面例子我们可以看出来，所谓数学期望就是求一系列离散数据的平均值，而且是加权平均值（后面重点讲）。所以，测量里面的观测值的真值就是通过一系列的观测，通过对观测值进行求加权平均值来得到待观测量的真值。

简单地说，数学期望即是一种平均值——加权平均值。

六、评判精度，对观测值进行改正。

测量平差是测绘专业的专业基础课之一。它是运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。用概率和数理统计方法来分析观测数据，为观测数据的处理提供理论基础；以最小二乘法作为处理观测数据的基本准则；论述近代测量平差的基本数据处理的最新研究成果。前面讲述的数学期望主要进行数据处理，处理数据后还要对观测值进行改正，依据的基本准则就是准则就是最小二乘法原理。(1)最小二乘原理简介：

而这就是我们这门课程：平差，如何进行平差，有什么原则，是我们学习习近平差的主要内容。

测量工作的重要环节之一是处理大量的观测数据。比如你去做控制测量，用全站仪测导线，用水准仪测高差，或者用GPS做静态测量。回去之后是不是都要进行数据处理？以GPS为例，你觉得是把观测数据导到GPS数据软件里解算一会儿就出来了，但是软件怎么来的，代码是不是人写的？只要是测量数据处理，总会有平差，而我们测量平差所依据的原则就是最小二乘原理。

美国统计学家斯蒂格勒曾经说过：“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。大家知道，微积分是高等数学的主要内容，很多学校里高等数学课程就叫微积分。那么最小二乘法在数理统计学中的地位就不言而喻了。

现在一般认为德国数学家高斯和法国数学家勒让德二人分别独立的发明了最小二乘原理。高斯宣称自己自1795年就一直使用最小二乘原理解决问题，但是他最早见刊是1809年《天体运动理论》，勒让德1805年发表的著作《计算彗星轨道的新方法》上就介绍了最小二乘原理。但高斯较勒让德把最小二乘原理推进的更远。

好，现在我们来看什么是平差。

大家知道，在测量中，误差可以避免吗？不可以，还记得误差分为哪几类吗？系统误差、偶然误差、粗差；仪器误差、外界环境的影响、人为误差。

所以说，在测量工作中，受到这么多影响，误差是不可避免的，虽然不可避免，但是我们可以采用一定的手段对带有误差的观测数据进行必要的数学处理并评定其精度。

还是这个例子，大家在进行导线测量的时候，水平角观测要测几个测回？2个，测距的时候测几次？3次，为什么？为了结果取平均值从而减小误差。比如大家观测一个三角形，是不是只要测出其中任意两个内角，第三个角可以由180°减去另外两角得出。但是实际操作中通常是三个内角都进行观测。这必须进行的观测是必要观测，剩下的就叫多余观测。

由于测量中不可避免的有误差，因此多余观测就必然产生不符值，像是三角形三个内角观测值之和，不等于180°。wL1L2L3180°这个w就叫做三角形闭合差，我们所要做的就是将w分配到三角形的三个内角观测值L1、L2、L3中去，从而得到改正值，并评定结果的质量，这一过程就叫做平差。

我们通过一个实例来简单的看一下最小二乘估计的原理，从而理解最小二乘的应用：

现在有一组观测数据x1,y1,x2,y2,x3,y3...我们要求一个函数，使这些点最接近于这个函数，也就是用一个函数来最佳拟合这些点。

通过观察，这些点连接起来是不是接近一条直线。那么我们就假设这个函数为线性函数，形式为：

y=ax+b

（1）

x、y为未知数，a、b为待求参数。

根据我们学过的代数知识，如果已知有两组已知数，a、b就可以确定出来了，那么这条直线也就确定出来了。

但是现在我们要求通过这么多点的最佳拟合直线，怎么办？

由于实验数据总是存在着误差，所以，把各组数据代入(1)式中，两边并不相等。相应的作图时，数据点也并不能准确地落在公式对应的直线上，如图所示。第i个数据点与直线的偏差为vixi2yi2

如果测量时，使x较之y的偏差很小，以致可以忽略（即xi很小）时，我们可以认为x的测量是准确的，而数据的偏差，主要是y的偏差，因而有：viyiyiabxi

我们的目的是使所有点与直线尽量靠近，所以是使各个v的绝对值尽量小，但是因为v有正有负，所以我们只要使各个v的平方和最小就可以了。

首先，求偏差的平方和，得vi1n2i(yiabx)2。

i1n按最小二乘法，当a、b选择合适，能使最小时，y=ax+b才是最佳曲线。那么怎么求的最小值呢？高等数学上讲了，先求导，令导数等于0，求出极小值，最小的极小值，就是最小值。这个可能大家没有接触过，咱们先用，以后再说。

对a、b分别求偏导数 vi2i1navi2i1n2yiabxi

b2yiabxixi

令上式等于0，就求出极值了，然后再对偏导数求二次导，根据二次导的正负来判断是极大值还是极小值，这个求出来是极小值，只有一个，所以也是最小值。咱们就不推导了。

这就是最小二乘估计的原理。

(2)测量上的应用

设L1,L2，L3，„Ln表示n个独立的观测量，为消除矛盾而赋予的对应改正数为v1，v2„.vn,观测值L1,L2，L3，„Ln在可信赖程度相等的情况下，最小二乘原理要求这些改正数的平方和为最小，即

vi2min

i1n