数学竞赛教案讲义(9)——不等式_数学竞赛教案讲义

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第九章 不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>ba-b>0；

（2）a>b, b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c；

（4）a>b, c>0ac>bc；

（5）a>b, c

（6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+an>bn;

（8）a>b>0, n∈N+nanb;（9）a>0, |x|ax>a或x

2xy, x+y+z33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；

nn再证性质（8），用反证法，若nanb，由性质（7）得(na)(nb)，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以nanb；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2xy(x一不等式，令3y)2≥0，所以x+y≥2xy，当且仅当x=y时，等号成立，再证另xa,3yb,3zc，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥33xyz，等号当且仅当x=y=z2时成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A

例1 设a, b, 22

2A（A，B>0）与1Bx,y,z,有

c∈R+，试证：对任意实数

ababcbccaxyyzxzx+y+z2.(ab)(bc)(ca)cab

例2 若a

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证„„，只需证„„。

例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-33abc≥a+b2ab.（3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.（4）反证法。

例6 设实数a0, a1,„,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,„, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,„, n-1).（5）分类讨论法。

x2y2y2z2z2x20.例7 已知x, y, z∈R，求证：

yzzxxy+

（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,„,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例8 求证：1

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：111nn(n2).2321abc.ambmcm

（7）引入参变量法。

b3例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=22的最小值。

xy+

a3

例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：

例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：

（9）利用函数的思想。

例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=值。

2．几个常用的不等式。

33xyz.21x21y21z2abc≤2。bc1ca1ab1111的最小abbcca（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n，则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi，ai2变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n，则()bi1in(ai)2(bi)2i1i1nn.等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, „, n)。

变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, „, n)，则

aibi1in(ai)2nabii1i1n.i等号成立当且仅当b1=b2=„=bn.（2）平均值不等式：设a1, a2,„,an∈R+，记Hn=

n111a1a2an, Gn=na1a2an, aa2an,QnAn=1n22a12a2an，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤

n算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a1=a2=„=an.【证明】

由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记1ka1a2akak1=Gk+1.k1因为a1+a2+„+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2akkkak1Gk1 k12k≥2k2ka1a2ak1Gk12k2kGk12kGk+1，所以a1+a2+„+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤„≤an且b1≤b2≤„≤bn，则对于b1, b2, „, bn的任意排列bi,bi,,bi，有a1bn+a2bn-1+„+anb1≤a1bia2bianbi≤a1b1+a2b2+„+anbn.12n12n【证明】

引理：记

A0=0，Ak=

ai1ki(1kn)，则

abii1ni

(si1nisi1)bi=si(bibi1)snbn（阿贝尔求和法）。

i1n1证法一：因为b1≤b2≤„≤bn，所以bibibi≥b1+b2+„+bk.12k记sk=bibibi-(b1+b2+„+bk)，则sk≥0(k=1, 2, „, n)。

12k所以a1bia2bianbi12k-(a1b1+a2b2+„+anbn)=

aj1nj(bibj)

jsj1nj(ajaj1)+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, „, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。

证法二：（调整法）考察a1bia2bianbi，若bibn，则存在。

12kj若bibn(j≤n-1)，则将bi与bi互换。

jnj因为

banbnajbi(anbiajbn)(anaj)bn(ajan)bi(anaj)(bnbi)≥0，nnnn所 调整后，和是不减的，接下来若bin1bn1，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

222anana12a21a1+a2+„+an.例15 已知a1, a2,„,an∈R，求证；

a2a3ana1+

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

a2b21．已知0m，则m的最小值是____________.6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|

11；②≤a3+b3

b1lgablga.22(1cos)43，则=____________.99．已知xx1x2xn，p=(x1-x)2+(x2-x)2+„+(xn-x)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+„

n+(xn-a)2, 若ax，则比较大小：p___________q.10．已知a>0, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.113n.22n22n1112．已知0

8xx13．已知x∈R，x0，求证：.x21211．已知n∈N+，求证：1

四、高考水平训练题

1．已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.3．若ab,a,bR+，且a3，b________.4．已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b，则

a3ab，将3,a,b,从小到大排列为a12b的取值范围是________.a5．若实数x, y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.6．设函数f(x)=2x3x12(x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.7．对x1>x2>0, 1>a>0，记y1x1x2________y1y2.8．已知函数yx1axaxx2,y212，比较大小：1a1a1a1aasinx4的值域是,，则实数a的值为________.1cosx39．设a≤b

111M恒成立，则M最abcabcb2a110．实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是________.11．已知a, b, c∈R+且满足 a+b+c≥abc，求证：下列三个式子中至少有两个成立：6326326322,2,2.abcbcacab1112．已知a, b∈R+且1，求证：对一切n∈N+，(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.abcab313．已知a, b, c ∈R+，求证：.abbcca214．设x, y, z是3个不全为零的实数，求

五、联赛一试水平训练题

1．已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1-b1=a2c2b2>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：P_______Q.2已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.3．二次函数f(x)=x2+ax+b，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M的最小值为__________.4．设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5．已知xi∈R, i=1, 2, „,n且+

22xy2yz的最大值。222xyz11，则x1x2„xn的最小值为__________（这里1xi1inn>1）.6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, „,2n)，记a2n+1=a1, a2n+2=a2，则__________.8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则

(ak12nkak1ak2)的最大值为

xyz的最大值为__________.yz1zx1xy19．已知3≤x≤5，求证：2x12x3153x219.2abc310abc.327=1。又0

n11．已知ai>0(i=1, 2, „, n)，且

ai1inai(iai)i1i1in(1n)2≤.41n

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证：

xyxyyzyzyzxzxzxzxy2.22．设整数x1, x2, „,xn与y1, y2, „, yn满足1y1+y2+„+ym，求证：x1x2xn>y1y2„ym.3．设f(x)=x2+a，记f'(x)f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, „)，M={a∈R|对所有正整数n, |fn(0)| ≤2}，求证：M2,。

414．给定正数λ和正整数n(n≥2)，求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x1, x2,„,xn，有M(λ)(xk1nk)xxk.nnkk1k1nn1119.5．已知x, y, z∈R，求证：(xy+yz+zx)222(yz)(zx)4(xy)+6．已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m