线性控制系统教案5Youla参数化2(精)_参数方程教案精

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第五章：Youla 参数化和H-最优控制

The Youla Parametrization and H- Optimal Control

5.1 稳定分式表示(stable fractional representation-SFR)称(G(s),K(s))是内部稳定的，或K(s)镇定G(s)。

u1e1y2G(s)K(s)e2y1u2

图5.1 标准反馈系统 求出(负反馈条件下)(IKG)1Heu(s)1G(IKG)(IKG)1K 1(IGK)1U(s)都是稳定U(s)SFR意义下的单模阵(幺模阵, unimodular)： 与

1U(s),U(s)RH。有理分式，即1(s)1N(s)，设G(s)N(s)D(s)D(s)Y(s)1，K(s)Y(s)1X(s)X(s),N(s),Y(s),X(s),X(s),Y(s)RH N(s),D(s),D定义： 右互质(right coprime)

(s如果

N(s)N(s)U)

D(s)D(s)U(s)

只对单模阵 U(s)成立，则称N(s)与D(s)右互质；

1这时称 G(s)N(s)D(s)是不可约的(irreducible)怎样判定N(s)与D(s)右互质？

存在稳定分式矩阵X(s),Y(s)使得X(s)N(s)Y(s)D(s)I。

1如果G(s)N(s)D(s)是不可约的(irreducible)，则G(s)的极点是D(s)的零点。

SFR表示不是唯一的。按G(s),K(s)上面的表示，D(YDXN)1YHeu(s)1N(YDXN)YD(YDXN)1X

IN(YDXN)1X定理：图5.1所示反馈系统内部稳定的充要条件是

1YDXN是单模阵，即YDXN,(YDXN)RH。

不失一般性，可以设YDXNI，进而，可以得到，如果K(s)镇定

(s),N(s),Y(s),X(s),X(s),Y(s)RH，G(s)，则存在N(s),D(s),D1(s)1N(s)，使得G(s)N(s)D(s)D(s)Y(s)1，K(s)Y(s)1X(s)XY且满足 NXDDNIX0Y0。I所有控制器的参数化

)D(XRD)N(s)I，R为任意稳定有理由上式可以得到(YRN真分式，则所有控制器的Youla参数化表示为：

)1(XRD),RRH,det(YRN)0}。S(G){K:K(YRN如果G(s)是稳定的，则闭环系统内部稳定(K(s)镇定G(s))当且

1QK(IGK)仅当是(指数)稳定的。(按定理3.5，得出如果G稳定，闭环系统稳定当且仅当Q稳定.)

11(IKG)IQG，(IKG)KQ这时，(IGK)1G(IGQ)G，S(IGK)1IGQ灵敏度函数。

1K(IQG)Q，即 因此可得任意控制器为S(G){K:K(IQG)1Q, QRH, det(IQG)0}

---所有控制器的Youla参数化表示。

稳定的传递函数集是一个环(ring)—stable fractional representations s2例5.1

G(s)s11s3 s4s3s41s4(s2)(s4)s4(s1)(s4)s2 s101s3s4s40s4

（问题：上例中G(s)的MFD描述是怎样的？）

10100s22(s4)(s2)s4s42(s4)0s1s10(s10)(s1)s4s1010K(s)2(s4)(s2)s4所以s10(s10)(s1)1s310s40102(s4)0 2s1001s40s2s1检验：02s410s32(s2)s10 s4s4(s1)(s2)(s4)另一方面，(s1)(s4)0s3s4s41，2(s4)s4s10s4s10(s),N(s),Y(s),X(s),X(s),Y(s)确定。则 N(s),D(s),D

5.2 H-最优化问题 H- Optimization problem 不精确已知被控对象的标准反馈结构如图6.1(P185)。

PP11(s)12(s)无摄动时如图6.2(P186)，设P(s)P(s)P(s)

2122使得zP11wP12u, yP21wP22u。使用反馈uKy得到

1z[PPK(IPK)P21]w:Fl(P,K)w 111222实际设计中通常要求：minimize Fl(P,K)

这就是H-最优化问题 H- Optimization problem 本章内容：1)问题是怎样产生(引出)的？

2)怎样用状态空间算法求解.问题求解的思路：首先应使系统稳定，给出所有镇定控制器的结构(给出所有控制器的参数化表示)；然后从控制器中选出最优的。

5.2.1 一个有启发意义的例子：灵敏度最小 A motivating example: sensitivity minimization

图6.3(P187)所示，SISO系统，设d是未知扰动，但频谱限制在0b，寻找一个控制器K使得扰动对输出y的影响最小

minimize S, or minimize supS(j)

S(IGK)1---灵敏度函数，在该频率段上幅值最小，但超出该段将导致噪声放大，使稳定性(裕度)变差。通常设计取权函数

W(j)1, 0b;W(j)1, b

则最小化问题 minimize supW(j)S(j)。

11(IKG)KQ，QK(IGK)如定义，则(IKG)1IQG，(IGK)1G(IGQ)G。灵敏度函数 S(IGK)1IGQ。

imizeW sIupGQ(j 这时优化问题转化为 msitnaQble )()应用Youla参数化方法使我们转化设计问题作为一个几乎不受约束的优化问题(Q任意取，保证系统正则稳定)。

该例显示：Youla参数化可以简化优化问题。如果JWS取幅值最小，则最优值J是常值，即全通函数。因此，选择权函数是至关重要的，这是一个敏感的(sensible)工程问题。

注意：有时最优解是不可实现的；即问题可能无解(解是非正则控制器)。有的问题不用Youla参数化求解，不是H-问题。

*5.3 H-控制问题公式化 The H- problem formulation 5.3.1 几个H-问题的例子 灵敏度最小 sensitivity minimization

1Fl(P,K)PPK(IPK)P21 111222Fl(P,K)W(IGK)1W[IGK(IGK)1]

P11W, P12WG, P21I, P22G

一般考虑P 21列比行多)更复杂。11,P21是方形情况，当P12行比列多(P加摄动下的鲁棒性 Robustne to additive perturbations

如图6.4，6.5(P190-191)，摄动的界依赖于与频率有关的函数

((j))r(j), for each 

1K(IGK)由小增益定理，如果

1，则闭环系统鲁棒稳定。

K(IGK)1rr1K(IGK)1r1rK(IGK)11 rK(IGK)1)转化为标准形式

Fl(P,K混合特性和鲁棒性目标

rK(IG)K则P110, P12rI, P21I, P22G

Mixed performance and robustne objective 为了得到好的干扰抑制性能(disturbance-rejection performance)和鲁棒稳定性(robust stability)，通常要求保持

S 小（在量值上）

不能同时实现。在不同频率域上加权 IS 小W1S设Fl(P,K)W(IS)

2W1GW1P, P, P21I, P22G 11120W2G

5.3.2 性能鲁棒：一个未解决的(unsolved)问题

有些重要的设计问题不能转化为H-问题，如性能鲁棒当存在未建模摄动时。某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题：

minimize DFl(P,K)D1

K,D其中D是对角的，可通过迭代求解D或K，给定D求K是标准H-问题，给定K求D是凸(convex)优化问题。同时求最优的K和D不易实现。

5.4 Youla 参数化The Youla(or Q)parametrization 5.4.1 fractional representations 分式表示

推广矩阵分式描述Matrix Fraction Description(MFD)到(稳定)分式表示

1(s)U(s)G(s)U(s)V1(s)V(s), U(s)是稳定的传递函数，而且U(s), V(s)右互质，U(s), V(s), V(s), U(s)左互质。重新定义单模阵(幺模阵unimodular)。VU(s), V(s)右互质：

UWX, VZX  X,X1 stable，i.e., X,X1H

定理5.1(Bezout’s theorem): U(s)和V(s)右互质当且仅当存在X(s)和Y(s)使得

XUYVI。

线性系统的分式表示： 设G(s)有能稳能检测实现(A,B,C,D)，状态空间表示

(ABF)xBvxAxBuxuFxv，y(CDF)xDv yCxDu

取反馈

u(s)[F(sIABF)BI]v(s)M(s)v(s)y(s)[(CDF)(sIABF)1BD]v(s)N(s)v(s)

111G(s)C(sIA)BDN(s)M(s)则

应证明N(s),M(s)右互质(后面证)另一方面，(与书中推导不同)AxBux(AHC)xHy(BHD)u(观测器)x

yCxDu

 yCxDu进而，得

[C(sIAHC)1HI]y[C(sIAHC)1(BHD)D]u

1(s)yN(s)u



G(s)M)N(s)(sM

5.4.2 所有镇定控制器的参数化

Parametrization of all stabilizing controllers 正反馈系统(图6.4，图2.2 P103)内稳定等价于

(IKG)1(IKG)1KIKGI11指数稳定。(IGK)G(IKG)定理5.2: 设稳定分式表示： 11U 1N，KUV1VGNM1M则闭环系统内稳定当且仅当 MN1UVU和 是稳定的(即是单模阵)。VNM1证明：

IKM0MUGI0VNV 1IKM0MUIK 0V与NV右互质，GI与GI有相同的稳定性。

111111KUVVU，定理5.3: 闭环系统内稳定，GNMMN，,N,U,V,U,V可以被选择满足 则M,N,M1UMUI0V

(*)NV0INM11GNMMN对应能稳能检测实现(A,B,C,D)，则 如果M(ABF,B,F,I)

N(ABF,B,CDF,D)

(AHC,H,C,I)M(AHC,BHD,C,D)

N(AHC,BHD,F,I)V(AHC,H,F,0)UV(ABF,H,(CDF),I)U(ABF,H,F,0)

MUFI0NVABF,[BH],(CDF),DI UVFI0AHC,[(BHD)H],, CDINM1111KUVVUGNMMN满足 定理5.4: 设0，0000UMU0I0V00 NV0I0NM11N的任意镇定控制器可以表示为 则GNMM1UKUV1V 1 (U0MQ)(V0NQ)(V0QN)(U0QM)1这里，任意QH。几点说明：

① 每取一个QH，K都是控制器； ② 每一个控制器都能表示上面形式； ③ 已知一个控制器，所有控制器都可求。

――――――――――――――――

作业：

s12s1s2G(s)1.设系统传递函数为1 ss1s2① 求G(s)的Smith-McMillan标准形.1M(s),N(s)G(s)N(s)M(s).② 求右互质多项式矩阵，使

1M(s),N(s)G(s)N(s)M③ 求右互质稳定分式矩阵1，使111(s).④ 求使系统(G(s),K(s))内部稳定的所有镇定控制器K(s)的参数化表示.

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