教案092.1离散型随机变量及其分布续_随机变量及其分布教案

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教学对象 计划学时 2

管理系505-13、14、15；经济系205-

1、2 授课时间

2006年3月3日；星期五；1—2节

教学内容

第二章 一维随机变量及其概率分布 第一节 离散型随机变量及其分布律（续）

三、常见离散型随机变量的概率分布

1、二点分布和二项分布

2、泊松分布

通过教学，使学生能够：

1、掌握两点分布

2、掌握贝努利概型和二项分布

3、掌握泊松分布

教学目的知 识：

1、两点分布

2、贝努利概型和二项分布

3、泊松分布

技能与态度

1、将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系

2、会分析计算生产实际中的概率问题

教学重点 常见的分布 教学难点 贝努利概型

教学资源 自编软件（演示贝努利概型）

教学后记

培养方案或教学大纲

修改意见 对授课进度计划 修改意见 对本教案的修改意见 教学资源及学时 调整意见 其他 教研室主任：

系部主任：

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

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教学活动流程

教学步骤、教学内容、时间分配

一、复习导入新课

复习内容：（5分钟）

1、随机变量的概念

2、分布律的概念 导入新课：（2分钟）

教学目标

教学方法

提问讲解

巩固所学知识，与技能

上一次我们引入了随机变量的概念，已经学会了用含有引出本节要学习随机变量的等式或不等式来表示不同的随机事件。在实际问的主要内容 题中，不同的离散型随机变量拥有各自不同的分布律。但生

产管理和实际生活中，有很多随机变量的分布规律是类似的，常见的分布有三类：两点分布、二项分布、泊松分布

1、掌握两点分布

二、明确学习目标

2、掌握贝努利概型和二项分布

3、掌握泊松分布

三、知识学习（50分钟）

三、常见的离散型随机变量的分布

(一)两点分布（0—1分布）若随机变量X的分布律为

X01pP1p，则称X服从以p为参数的（0-1）分布。

若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面，射击是否中靶，新生儿的性别，等等，它们都可以用（0-1）分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。可见，（0-1）分布是经常遇到的一种分布。

例

1、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一球，1,取到白球以X表示取出球的颜色情况，即X=，求X的0,取到红球分布律。

解：P{X=1}=1C61C10=0.6，P{X=0}=

1C41C10=0.4

则X的分布律为XP010.40.6

(二)二项分布

二项分布是实际中很常见的一种分布，为了对它进行研究，需要先介绍一种非常重要的概率模型——贝努利概型

我们在实际中经常会遇到这样的情况:所考虑的试验是

掌握两点分布的 概念

讲授法

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

第 2 页 由一系列的子试验组成的，而这些子试验的结果是互不影响的，即子试验之间是互相独立的。例如，将一枚硬币连续抛n次，我们可以将每抛一次看成一个子试验，而每次抛硬币出现正面与反面的结果是互不影响的。而且随机现象的统计规律性是在大量的重复试验的条件下才呈现出来的，因此对某个试验独立重复地进行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

我们只讨论每次只有两个结果的n次独立重复试验。

1、贝努利(Bernoulli)试验

定义：设随机试验E只有两种可能的结果：A或A，在相同的条件下将E重复进行n次，若各次试验的结果是互不影响，则称这n重独立试验。

它是数学家贝努利首先研究的，因此也叫n重贝努利试验，简称贝努利试验，这时讨论的问题叫贝努利概型

说明：贝努利试验应同时满足以下条件：(1)在相同条件下进行n次重复试验；

(2)每次试验只有两种可能结果：A发生或A不发生；(3)在每次试验中，A发生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次试验是相互独立的对于贝努利概型，我们主要研究在n次贝努利试验中事件A出现k次的概率。

定理：在贝努利概型中，设事件A在每次试验中发生的概率为p，则在n次贝努利试验中，事件A出现k次的概率kk为Pn(k)Cn（k=0,1,2,„,n）p(1p)nk，理解贝努利概型

例2：将一枚均匀的硬币抛掷3次（与3枚硬币掷一次相当），求正面出现1次的概率

解：n=3，k=1，p=0.5，1-p=0.5，则1P3(1)C3(0.5)1(10.5)31=0.375 用古典概率解释: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．说明:简单问题用古典概型解决还可以,当试验次数太多时,样本点有2n个，只能用公式求解

软件演示：

例3：从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有两次取得次品的概率

解：将每一次抽取当做一次试验，设A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一个5重贝努利试验，n=5，两次取得次品，则有k=2，每次试验中

p = P(A)=1C31C1213，则1-p=，44

掌握计算公式

讲授法

讲授法 板书

软件演示

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第 3 页 2因此P5(2)C5()2(1)52=1414135 5122、二项分布

定义：若随机变量X的取值为0,1,2,„,n，且kkP{X=k}=Cnp(1p)nk，k =0,1,2,„,n

其中0

特例：当n=1时，二项分布即为两点分布 例4(P 21)

说明：二项分布的应用非常广泛，但是当重复试验的次数很多时，计算量又很大，平时解题可以不用计算，当n>5时用式子表示即可。为便于应用，可直接查阅二项分布表(P157附表6），查表结果是X取值从0到x的累计概率。即P{X≤x}。若计算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

例5(P22)、工厂生产的螺丝次品率为0.05，每个螺丝是否为次品是相互独立的，产品出售时10个螺丝打成一包，并承诺若发现一包内多于一个次品即可退货。用X表示一包内次品的个数。求（1）X的分布律；（2）工厂的退货率

解：对一包内的10个螺丝逐个进行检验，相当于进行10重贝努利试验，因此X~B(10,0.05)

k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k(0.05)k(0.95)10k，=0,1,2,„,10）（2）当X>1时退货，退货率为：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k01kC10(0.05)k(0.95)10k

泊松定理（Poion）:设λ>0是一常数，n是正整数。若npn=λ，则对任一固定的非负整数k，有klim(1pn)e。（证：P23注释）nk!定理的条件npn=λ，意味着n很大时pn必定很小，由定理知，当X~B(n, p)，且n很大而p很小时，有kCnkpnnkkP{X=k}=Cnp(1p)knkk e，λ=np ≈k!k e计算在实际计算中，当n≥20且p≤0.05时，用k!kkCnp(1p)nk的近似值效果颇佳；

k 当n≥100且np≤10时，效果更好。e的值有表可

k!

掌握二项分布的计算

理解定理内容

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N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈e3，k!k0

N3k3故问题转化为求N的最小值，使e≥0.99

k!k0

N3k3k即1e3e30.01

k!k!k0kN1

查书后附表2（P140）可知，当N+1≥9即时N ≥8时，上式成立。因此，为达到上述要求，至少需配备8名维修工 人。

类似的问题在其他领域也会遇到，如电话交换台接线员 的配备，机场供飞机起降的跑道数的确定等.(三)泊松分布

定义：若随机变量X所有可能的取值为0,1,2,„,而理解泊松分布的定义 k 查（见书后附表P139）

例

6、某车间有同类型的设备300台，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，设一台设备的故障由一名工人维修，问至少需配备多少名维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？

解 设需配备N名工人，X为同一时刻发生故障的设备的台数，则X~B(300,0.01)。所需解决的问题是确定N的最小值，使P(X≤N)≥0.99 e，其中λ>0是常数，则称X服从参数为λk!的泊松分布，记为X~P(λ)

具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如，在每个时段内电话交换台收到的电话的呼唤次数、某商店在一天内来到的顾客人数、在某时段内的某放射性物质发出的经过计数器的粒子数、在某时段内在车站候车的人数、单位面积上布匹的疵点数、单位时间内商店销售非紧俏商品的件数、等等，只要试验的结果为两个，且由很多因素共同作用来决定的随机变量，都可认为是服从泊松分布。泊松分布也是一种常见的重要分布。它是二项分布的极限分布，因此可用泊松分布的计算公式计算二项分布。

例15：每分钟经过收费站的汽车流量服从泊松分布：X ~P(5)，求每分钟经过该收费站的汽车不足9辆的概率。

解：P{X

例1 某人独立地射击目标，每次射击的命中率为0.02，掌握分布律的性射击200次，求目标被击中的概率。质

解：把每次射击看成一次试验，这是200重贝努利试验。设击中的次数为X，则X~B(200,0.02)

四、技能学习（20分钟）

教师提问

引导学生写出答案

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

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=0,1,2,„,200）

所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.98200=0.9824 说明：虽然每次的命中率很小，但当射击次数足够大时，击中目标的概率很大。这个事实告诉我们，一个事件尽管在 一次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，kX的分布律为：P{X=k}=C200（k(0.02)k(0.98)200k，这个事件的发生几乎是必然的。也就是说，小概率事件在大量独立重复室验中是不可忽视的。

当问题的规模很大时，一般n很大且p很小，无法查表。而直接计算又很麻烦，下面给出一个当n很大而p很小时的近似计算公式.例

2、车间现有90台同类型的设备，各台设备的工作是相互独立的，每台发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障只能由一个人修理。配备维修工人的方法有两种，一种是由三人分开维护，每人负责30台；另一种是由3人共同维护90台。分别求在两种情况下车间的设备发生故障不能及时维修的概率。

解：设X为出现故障的设备台数

（1）每人负责30台设，可认为是30重贝努利试验，因此X~B(30,0.01)，当X>1时等待修理。

λ=np =0.3，P{X>1}= P{X≥2}≈(0.3)e0.3≈

k2kk!0.0369 Ai=“第i个人负责的30台设备发生故障而无人修理”。可知P(Ai)=0.0369，而90台设备发生故障无人修理的事件为A1∪A2∪A3，故采用第一种方法，所求概率为

P(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-(1-0.0369)3=0.1067

（2）三人共同维护90台，认为是90重贝努利试验，因此X~B(90,0.01)，当X>3时等待修理。

而所求概率为P{X>3}= P{X≥4}≈(0.9)e0.9≈

k4kk!0.0135 因为0.0135

五、态度养成六、技能训练（16分钟）

做事认真的态度

通过实际训练，学生练习练习：一大楼有五个同类型的独立供水设备，在任意时使学生理解样本老师巡刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻 的写法与含义 视，解答《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

第 6 页(1)恰好有两个设备被使用的概率P1是多少?(2)至少有三个设备被使用的概率P2是多少?(3)至多有三个设备被使用的概率P3是多少?(4)至少有一个设备被使用的概率P4是多少? 解：在同一时刻观察五个设备,它们工作与否是相互独立的,故可视为5重贝努里试验，n=5，p=0.1，于是可得：

2(1)P1＝P5(2)＝C5(0.1)2(0.9)53＝0.0729

－

问题

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝0.00856(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.99954(4)P4＝1－P5(0)＝1－0.95＝0.40951 {X=0}={没有取到次品}，P{X=0}=

02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C107 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}={X=2}={取到两件次品}，P{X=2}=1 15XX的分布律为：P0715171521 1

5七、课堂小结（3分钟）

在学习时要理解三种分布之间的关系：两点分布讨论的是一次贝努利试验的结果，它只有两个结果，二项分布讨论的是N次贝努利试验的结果，它有N+1个结果。两点分布是二项分布的特例，泊泊松分布是二项分布的极限分布。它对应无穷多次的贝努利试验，因此，贝努利试验是非常重要的一类试验。

概括总结，帮助学生构建知识体系

简要概括本节内容

八、布置作业（1分钟）

复习本节内容

预习连续型随机变量 P36—5、6、7

巩固所学的知识 培养自学能力

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