§5.5 正弦定理、余弦定理的应用(教案)_正余弦定理应用教案

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响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 主备人 张灵芝 总第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的应用

基础自测

1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°，则∠BAC=.答案 130°

2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为.答案 =

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,则△ABC是 三角形.答案 等边

4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 km.答案 107

5.线段AB外有一点C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以 50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.答案 70 43例题精讲

例1 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离.解 如图所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin7562=.△ABC中，由余弦定理，得

sin602262262)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之间的距离为5 km.159 例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 km，从B到C方位角是110°，距离是3 km，从C到D,方位角是140°，距离是（9+33）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示，连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2BC22ABBCcos120= 99233()

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2CD22ACCDcos120= 27(339)2233(339)()

2=9(26)(km)2CDsinACD=AD(339)由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 所以，从A到D的方位角是125°，距离为

9(26)km.2例3 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB 的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以 DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC 的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解 设∠POB=，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos=5-4cos.∴y=S△OPC+S△PCD=∴当-1353×1×2sin+（5-4cos）=2sin(-)+.3244222553=，即=时，ymax=2+.326453.4所以四边形OPDC面积的最大值为2+巩固练习

1.某观测站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？ 解 设∠ACD=，∠CDB=.在△BCD中，由余弦定理得 cos=

143BD2CD2CB2202212312==-，则sin=,72BDCD220217而sin=sin(-60°)=sincos60°-cossin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin=,∴AD==sin60sinsin6021在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 这个人再走15千米就可到达A城.2.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得 ∠BCD=，∠BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=--，由正弦定理得所以BC=CDsinBDCssin=

sinCBDsin()BCCD=，sinBDCsinCBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stansin.sin()3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比 AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越 好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多 少米？

解 设BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，将c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化简得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a231(a1)22a234=(a-1)+4= 4(a1)a1a1+23+2, 当且仅当a-1=33时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+3.4(a1)2答 AC最短为(2+3)米，此时，BC长为(1+

3)米.2回顾总结 知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°视角，则B、C的距离是 海里.答案 56

2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km, 162 灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 km.答案 3a

4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.答案 176 25.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，，是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是（填序号）.①c和②c和b③c和④b和 答案 ④

6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相 距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在 货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，则答案 1 8.（2008·苏州模拟）在△ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,C，且答案

nisaAab+=.bcca=

cosBcosC

=,则∠A=.cb

2二、解答题

9.在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴353sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，则4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2b2c2c2=，2ab2ab1，又∵C∈（0，），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模拟）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=(1)求边c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A为锐角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧

AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=，求△POC面积的最大值及此时的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin.sinPCOsinsin120sin32OC4=，∴OC=sin（60°-）.因此△POC的面积为

sin(60)sin1203S（）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-）× sin·2223343sinsin（60°-）=43sin（1232

cos-sin)=2sin·cos-sin

223=sin2+

332333cos2-=sin(2+)-.∴=时，S（）取得最大值为.6633333164 12.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（3-1）n mile的B处 有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BDsinCBD10tsin1201==,∴∠BCD=30°.CD2103t即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.165